Aplicaciones de formas cuadráticas

Question

Parece que muchos de los grandes matemáticos de pasar un buen rato de su tiempo al estudio de la formas cuadráticas sobre $\mathbb{Z},\mathbb{Q},\mathbb{Q_p}$ etc. y, de hecho, hay una amplia y detallada de la teoría de estos. Generalmente se califica como parte de la Teoría de números como en Serre del libro "Un Curso De Aritmética" la mitad de los cuales está dedicado al tema, pero también se dice que tiene aplicaciones en otras áreas, tales como la topología diferencial, grupos finitos, las formas modulares (como se indica en el prefacio del libro citado). Me gustaría tener ejemplos de estas aplicaciones sólo para la educación general en orden a apreciar realmente su importancia universal.

Answer 1

Deje $A$ ser finito-dimensional de álgebra sobre un campo $k$. Entonces no es un distinguido lineal funcional $\text{tr}(L_a) : A \to k$ determinado mediante el cálculo de la huella de la izquierda del operador de multiplicación $L_a : x \mapsto ax$. Esto induce a un distinguido bilineal simétrica forma $\langle a, b \rangle = \text{tr}(L_a L_b)$, la traza de la forma. Esta es una herramienta útil para el estudio de la $A$.

Teorema: $A$ es un algebra semisimple si y sólo si la traza forma es no degenerada.

En este caso, $A$ está equipada con la estructura de un Frobenius álgebra, por lo que puede ser utilizado para definir las 2 dimensiones topológicas las teorías cuánticas del campo.

Teorema: Igualmente, os $\mathfrak{g}$ ser finito-dimensional Mentira álgebra sobre un campo $k$ de los característicos $0$. La traza de la forma en este contexto se llama la Matanza de forma, y por el Cartan criterio $\mathfrak{g}$ es semisimple si y sólo si la forma de Matar es no degenerada.

Al $k \to A$ es una extensión de los campos de número, la traza formulario puede ser usado para definir el discriminante de un campo de número, que por sí sola tiene muchas aplicaciones en la teoría algebraica de números.

Answer 2

Si $X$ es un orientable colector de dimensión $n = 4k$, entonces la Dualidad de Poincaré emparejamiento induce un unimodular integral bilineal simétrica forma en $H_{2k}(X,\mathbb{Z})$. De esta forma se convierte en un profundo y útil invariantes de la $X$. Por ejemplo, cito (o más bien, de cerca paráfrasis) el siguiente resultado tomado de Milnor y Husemoller del Simétrica Formas Bilineales:

Teorema: Vamos a $M,M'$ ser cerrado, orientado simplemente se conecta $4$-dimensiones de los colectores. Los siguientes son equivalentes:
(i) no Hay una orientación de la preservación de homotopy equivalencia de$M$$M'$.
(ii) El simétrico interior del espacio del producto $H_2(M,\mathbb{Z})$ es isomorfo a $H_2(M',\mathbb{Z})$.

Hay otros resultados sorprendentes a lo largo de estas líneas: ver, por ejemplo, Rokhlin del Teorema.

(De hecho, quiero decir que algo acerca de la intersección de la forma definida anteriormente da una obstrucción para un topológico colector de admitir una suave estructura, que es casi tan profunda como la que se presenta en este tema. Por desgracia yo no soy recordando la declaración real ahora: tal vez alguien puede recordarme.)

Yo siempre he asumido que aparejador-topologist extraordinario John Milnor tengo bastante interesado en formas bilineales simétricas para escribir un libro entero acerca de ellos porque de esta aplicación para el colector de la teoría, aunque he mirado ahora y no encuentro ninguna declaración explícita a lo largo de estas líneas en el libro.

Tenga en cuenta, finalmente, que en el Capítulo V de Milnor-Husemoller se llama "Algunos Ejemplos" y toda la discusión sobre las preocupaciones $\S V.1$: Homología, Teoría de los Colectores. Tengo la sospecha de que se podía escribir dos más buenas respuestas usando $\S$ V. 2: los Anillos de Lisa Real de las Funciones con valores y $\S$ V. 3: El Discriminante de una Extensión de Campo.

Answer 3

Ofrece una muy diferente de la aplicación: el Oro de las secuencias de (utilizados en, por ejemplo, GPS de navegación para el seguimiento de los cambios a la distancia de uno de los satélites) pueden ser vistos y analizados utilizando el hecho de que se incorporan mediante la evaluación de ciertas formas cuadráticas (dependiendo del número de id del satélite) definida en un 10 dimensiones del espacio sobre el campo de dos elementos.

Varios otros utilizados sincronización/codificación de secuencias de (pero no todos) se incorporan en la misma forma.

Answer 4

Usted menciona simple grupos. La formas cuadráticas son una tranquila elemento en la clasificación de las álgebras de Lie, a través de Weyl cámaras y así sucesivamente. La versión corta es que cualquier debate en el que participaron Euclidiana espacios que habla de las reflexiones es el uso de una forma cuadrática, normalmente el producto escalar ordinario.

Así, finitos simples grupos fueron descubiertos como parte integral de automorphism grupos de integral de celosías, el significado positivo de la formas cuadráticas sobre $\mathbb Z.$ Esta zona siempre ha usado el lenguaje de las álgebras de Lie, diagramas de Dynkin, etc. Sin embargo, la definición ejemplo es la Sanguijuela de celosía, que es un peculiar objeto. Además, el cálculo principal de tomar la Sanguijuela de celosía simple grupos toma un desvío a través de indefinido formas.

Tres buenas referencias de CORRECCIÓN de ERRORES, CELOSÍAS Y CÓDIGOS, y cualquier edición de SPLAG. Yo soy especialmente aficionado a la sección 4.5 en las Rejillas y los Códigos Ebeling. En el prefacio a la segunda edición, señala que la sección 4.5 es nuevo en esa edición. Increíble, ya que no había ningún otro lugar en el que se explica lo que yo necesitaba. Hay algo un poco acerca de la disponibilidad y el precio, creo que lo compré por alrededor de $35.00 de la AMS, pero ahora AMAZON. Escribí al Prof. Ebeling, que gustó bastante a mi solicitud de la sección. Conoce a Conway y Borcherds, por supuesto, pero vale la pena publicarlo como un elemento independiente. Vamos a ver.