¿Son regiones abiertas acotadas en $\mathbb{R}^n$ determinado por su límite?

Question

Deje $U$ $V$ dos delimitada abierto regiones en $\mathbb{R}^n$, y dejar que nos suponga que sus límites topológicos son agradables suficiente para que se homeomórficos a lo finito simplicial complejos.

Suponga $\partial U$ es homeomórficos a $\partial V$.

1. Es $U$ ser homeomórficos a $V$?
2. Una más débiles pregunta: si $U$ es contráctiles, es $V$ contráctiles?

Para $n=1$, la respuesta a ambas preguntas es sí, puesto que la $\partial U\simeq \partial V$ son conjuntos de $2i$-muchos puntos, ambos de los cuales se dividen $\mathbb{R}^1$ a $i$-muchas de intervalos.

Para $n=2$, la respuesta a ambas preguntas es sí, puesto que la $\partial U\simeq \partial V$ son conjuntos de $i$-muchos topológica de los círculos, que tanto dividen $\mathbb{R}^2$ a $i$-a los numerosos discos.

Answer 1

N $n=2$. Considerar un disco con dos agujeros circulares (rojos en la imagen siguiente) versus un disco dentro de un anillo (azul) frente a tres discos (verde). En todos los casos el límite consiste en tres círculos separados.

Answer 2

$n=3$ Podría considerar una bola menos un nudo. En todos los casos el límite es $S^2 \coprod S^1$, pero inequivalent nudos producirá conjuntos no homeomórficos. Estos tienen la ventaja de estar conectado.