Es costumbre utilizar el argumento de DeTurck (o Hamilton original uno que implica la iteración de Nash-Moser) para probar la existencia local de flujo de Ricci. Me pregunto por qué uno no puede utilizar coordenadas armónicas para este propósito, como se puede hacer para las ecuaciones de Einstein.
Respuesta
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Hay al menos dos problemas si usted ingenuamente enfocar el problema desde ese punto de vista:
- ¿Cómo se propone usted el tiempo de evolución de la armónica en el sistema de coordenadas? Para la ecuación de Einstein el sistema de coordenadas es más propiamente llamada "ola de coordenadas" como coordinar las funciones de resolver la onda de la ecuación (comparar a la de Riemann caso cuando el coordinar las funciones de resolver el de Laplace de la ecuación).
- Armónica de los sistemas de coordenadas que no son necesariamente global. Para ecuaciones hiperbólicas como la ecuación de Einstein, la velocidad finita de propagación implica que usted puede cortar en pequeños barrios, y resolver en el ámbito de la dependencia o el barrio en el (local) de la onda de sistema de coordenadas. Para la ecuación parabólica uno no puede usar el mismo método.
Dicho esto, el DeTurck truco puede ser interpretado como la "armónica coordinar" la versión de la prueba. En el DeTurck truco resolver la modificación de flujo de Ricci con un campo de vectores $X^a = g^{bc}\Gamma_{bc}^a$ cuando la $\Gamma$ son los análogos de Christoffel símbolo "relativa a un segundo plano fijo métrica". Ahora, la elección de armónicos en el sistema de coordenadas es uno en el que $0 = g^{bc}\Gamma_{bc}^a$ (el verdadero símbolo de Christoffel relativa a las coordenadas de ahora). Así que podemos ver DeTurck el truco de como eludir la dificultad en la elección de un mundial, verdaderamente armónico del sistema de coordenadas, mediante la compensación con un tiempo-dependiente de la diffeomorphism que "elimina" el extra no harmonicity.
La correcta analógicas para la DeTurck truco en las ecuaciones de Einstein es que no la simple o' de onda del sistema de coordenadas. En su lugar, es lo que Choquet-Bruhat llama el "$\hat{e}$ onda calibre" y lo que a veces es conocida como la "onda-mapa de calibre"; para más detalles, consulte el capítulo VI.7 de su reciente monografía de la Relatividad General y las Ecuaciones de Einstein.
