Lo resolví, en su mayoría reproduciendo Qmechanic, pero quería explicar por qué esta incrustación funciona de manera conceptual, y cómo generalizarla a todo el grupo de Lorentz. Pero la construcción es una forma interesante de mostrar cómo funciona el impulso en una representación Dirac de las matrices Gamma, no da algo nuevo.
El hecho de que se puedan representar las transformaciones de Lorentz mediante operaciones cuaternarias no es sorprendente por sí mismo, porque dado cualquier cuaternario v, se pueden encontrar sus componentes mediante operaciones cuaternarias puras:
$$2 Re v = v + \bar {v}$$ $$2 Im v = -2 Re iv $$ $$2 JP v = -2 Re jv $$ $$2 KP v = -2 Re kv $$
Donde JP y KP significan la "parte j" y la "parte k" del cuaternario. Si calculas los componentes individuales, terminan siendo conmutadores de v y su conjugación con i. Así que puedes escribir cualquier transformación lineal que quieras en términos de v y conmutadores con i,j,k.
Pero esta fórmula no hace esto. La fórmula es (o debería ser ) si la fastidias en el segundo paréntesis, debería ser $(h^*h^*v)^*$ ambos términos deben ser proporcionales al conjugado de v)
$$ h v \bar {h} + ({h^2 \over 2} - { \bar {h}^2 \over 2}) \bar {v} $$
(como dice Qmechanic) donde $h= \cosh (x)+i \sinh (x)$ . Esto no hace ninguna proyección de coordenadas específicas, pero hace una transformación lineal en v que es una transformación de Lorentz en los componentes, y parece que debería significar algo, porque sólo actúa en v y v-bar de una manera simple.
A partir de esto se ve inmediatamente que las transformaciones 1-d forman un grupo, porque (como escribe Qmechanic) si se hacen dos transformaciones lineales una tras otra, se multiplican las matrices. Dado que esto reproduce la transformación de Lorentz, terminas multiplicando las matrices de transformación de Lorentz. Así que para verificar que forma un grupo, sólo necesitas verificar que efectivamente hace una transformación de Lorentz.
Verificando que funciona
Describe un cuaternario como un par de números complejos de la siguiente manera:
$$ v = z_1 + z_2 j $$
Donde la multiplicación $z_2$ por j da los términos j y k. Entonces note las siguientes relaciones algebraicas formales, para cualquier número complejo $z$ :
$$ zj = j \bar {z}$$
Para que puedas deslizar un número complejo más allá de una j conjugando este es el álgebra de cuaternarios. El conjugado cuaternario es simple pero deberías saber que $(ab)^*=b^*a^*$ (Uso * y barra indistintamente).
$$ \bar {v} = \bar {z}_1 + \bar {j} \bar {z}_2 = \bar {z}_1 - z_2 j $$
También el álgebra es simple sólo tienes que conjugar un número complejo cada vez que lo pasas por una j Entonces nunca necesitas escribir los componentes reales, puedes conformarte con los complejos. Los números complejos viajan, así que todo lo que tienes que preocuparte es la colocación de la j, y siempre puedes reorganizar cualquier expresión para poner la j al final, moviéndola más allá de los números complejos, conjugándolos a medida que avanzas.
A partir de esto, y sabiendo que $h = \cosh (x) + i \sinh (x) $ puedes ver que
$$ h v \bar {h} = h \bar {h} z_1 + h^2 z_2 j $$
usando las relaciones , $ \bar {h}h = \cosh (2x)$ , $h^2 = 1 + 2i \sinh (2x) $ para que $h^2 + \bar h^2 = 2$ puedes añadir lo de arriba a lo de abajo:
$$ ({h^2 - \bar {h}^2 \over 2} ) ( \bar {z}_1 - z_2 j) $$
para encontrar
$$ h \bar {h} z_1 + {h^2 - \bar {h}^2 \over 2i} i \bar {z}_1 + {h^2 + \bar {h}^2 \over 2} z_2 $$
Y esta es la transformación de Lorentz (ya que $h \bar {h}$ es $ \cosh (2x)$ mientras que $h^2- \bar {h}^2=2i \sinh (2x)$ mientras que la cosa se multiplica $z_2$ es 1. Esto es repetir Qmecánica con un poco más de detalle (y originalmente errores tipográficos, lo siento).
Por qué funciona e integrar todo el grupo de Lorentz
Por qué funciona
La razón por la que funciona es por las representaciones de espinores del grupo Lorentz. Esto se escribe normalmente en términos de matrices gamma, no de cuaternarios, pero a veces las matrices gamma dan el álgebra de los cuaternarios.
Por conveniencia, es útil considerar las matrices habituales de Pauli como cuaternarios complejos: I,J,K son i- veces las matrices Pauli, y hacen las cuaternarias, pero también hay una "i" minúscula, que conmuta con las tres y al cuadrado con -1. Esto ya no es un álgebra de división, sino el espacio completo de matrices complejas de 2 por 2.
En términos de los cuaterniones complejos, una representación estándar de Dirac es
$$ \gamma ^0 = (1,0;0,-1)$$ $$ \gamma ^i = (0,i \sigma_i ;i \sigma_ {i_0},0)$$
Otro, el chiral, es
$$ \gamma ^0 = (0,i;i,0)$$ $$ \gamma ^i = (0,i \sigma_i ;-i \sigma_i ,0,0)$$
(siempre debes multiplicar las matrices de Dirac como 2 por 2 matrices cuaternarias. Así es como todos lo hacen en sus cabezas de todos modos). El punto es que la barra en V en una representación quiral está muy cerca de un cuaternario.
$$ v \cdot\gamma ^0 =( 0 , i v_0 + v_1 I + v_2 J + v_3 J, -i v_0 + v_1 I + v_2 J + v_3 K) $$
definir el cuaternario $V$ para ser $v_0 + v_1 I + v_2 J + v_3 K$ . Todo el material de Dirac son cuaternarios complejos con un componente de tiempo imaginario, que puedes hacer formalmente escribiendo $V-(1+i)(V+ \bar {V})$ El generador de impulso es el producto de $ \gamma_0 $ y $ \gamma $ en la dirección del impulso, y lo que hace en un representante Dirac es mezclar componentes, y en un representante Chiral, se multiplica por
$$ ( \cosh (x) + i \sinh x I) V (cosh(x) + i \sinh (x) I ) $$
Esto es muy parecido a la forma del físico de pie. Para hacerlo puro cuaternario, sólo tienes que deshacerte de los factores "i", y no conozco ninguna forma elegante de hacerlo.
La razón por la que la última cosa es interesante es sólo porque se expresa tanto con multiplicaciones izquierdas como con multiplicaciones derechas (izquierda y derecha en V, sólo izquierda para $ \bar {V}$ ), de modo que no es una matriz que actúa en el cuaternario de la izquierda y de la derecha. El álgebra involucrada es exactamente la misma que la que representa un espín de Dirac, pero el álgebra ha sido reordenada de una manera un poco más elegante. Creo que esto es algo ingenioso, y podría ser útil para algo.
