la base para el espacio de Sobolev $H^1_0([0,1],\mathbb{R})$

Question

De acuerdo con el Sturm-Liouville teorema, para cualquier función continua $p\in\mathcal{C}^0([0,1],\mathbb{R})$, hay una base de Hilbert (normlised) $(\psi_n)_{n\geq1}$ $L^2([0,1],\mathbb{R})$ tal que $\psi_n\in\mathcal{C}^2([0,1],\mathbb{R})(\forall n)$ y

$$-\psi_n''+p\psi_n=\lambda_n\psi_n$$

en $[0,1]$$\psi_n(0)=\psi_n(1)=0$. Es claro que $\psi_n\in H^1_0([0,1],\mathbb{R})$. Si le damos a $H^1_0([0,1],\mathbb{R})$ una norma como $(u,v)_p=\int_0^1(u'v'+puv)(u,v\in H^1_0([0,1],\mathbb{R}))$, $H^1_0([0,1],\mathbb{R})$ se convierte en un espacio de Hilbert.

Mi pregunta es si la base $(\psi_n)_n$ constituye una base para $(H^1_0([0,1],\mathbb{R}),(\cdot,\cdot)_p)$ en su producto interior?

Tiendo a creer que es correcto, pero no puedo demostrarlo. Si cada uno se multiplica por una constante, entonces $(\psi_n)_n$ han norma $1$ y sigue siendo ortogonales uno al otro (nota como $\tilde{\psi_n}$). Quiero mostrar que para cualquier elemento $u\in H^1_0([0,1],\mathbb{R})$, $\sum_{k=1}^{n}\tilde{\psi_k}(\tilde{\psi_k},u)_p$ convergen en la norma $(\cdot,\cdot)_p$. Pero incluso este paso, todavía no he tenido éxito.

Podría alguien ser tan amable de darme algunos consejos o me dan algunos recursos en este problema? Gracias de antemano.

Answer 1

Vamos a demostrar que $\psi_n$ es denso en $H_0^1$. Tome $v\in H_0^1$ y supongamos que $$\tag{1}(\psi_n,v)_p=(\psi_n',v')_2+(p\psi_n,v)_2=0,\ \forall\ n=1,...$$

Vamos a demostrar que $v=0$, lo que implica que la secuencia de $\psi_n$ es denso en $H_0^1$.

En primer lugar, mutliply la ecuación de $-\psi''_n+p\psi_n=\lambda_n\psi_n$ $\psi_m$ e integrar por partes a la conclusión de que

$$\tag {2} (\psi'_n,\psi'_m)_2=-(p\psi_n,\psi_m)_2, \ m\neq n $$

$$\tag {3}(\psi'_n,\psi'_n)_2=-(p\psi_n,\psi_n)_2+\lambda_n, \ m=n$$

Escribir $v=\sum_{i=1}^\infty (v,\psi_i)_2\psi_i$ y sustituir en las $(1)$ para obtener

$$\tag{4} \sum_{i=1}^\infty (v,\psi_i)_2(\psi'_n,\psi'_i)_2+\sum_{i=1}^\infty (v,\psi_i)_2(p\psi_n,\psi_i)_2=0,\ \forall\ n=1,...$$

Mediante la combinación de $(2),(3)$ $(4)$ llegamos a la conclusión de que $$\tag{5} (v,\psi_n)_2\lambda_n=0,\ \forall\ n=1,...$$

De $(5)$ llegamos a la conclusión de que $v=0$.

Observación: Después de algunos ponderación, vi que $0$ puede ser un autovalor de este problema. Esto es debido a que no hay ninguna hipótesis de la positividad de $p$, por lo tanto, me gustaría señalar que mi argumento sólo se aplica si $\lambda_n\neq 0$ todos los $n$.