Encontrar todas las soluciones a $f\left(x^2+xf(y)\right)=xf(x+y)$

Question

Encontrar todas las funciones $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ tal que $$f\left(x^2+xf(y)\right)=xf(x+y)$$ for all $x,y\in\mathbb{R}$.

Esto es algo relacionado con esta pregunta, pero con un $xf(y)$ plazo en lugar de a $yf(x)$. Me las he arreglado para conseguir $f(0)=0$, $f\left(x^2\right)=xf(x)$ y $f$ es extraño, pero no mucho más. Creo que el $f(x)=x$ $f(x)=0$ son las únicas soluciones, pero no estoy seguro.

Answer 1

Desde que te has ya sabes que, voy a seguir de $f(0) = 0$ $xf(x)=f(x^2)$

en primer lugar, vemos que para cada $x\ne0$: $$-xf(-x)=f\left(\left(-x\right)^2\right)=f(x^2)=xf(x)$$ $$f(x)=-f(-x)$$ Ahora, por cada $a>0$: $$f(a)=\sqrt{a}f(\sqrt{a})$$ lo que significa: $$f(a)=a^{\frac{1}{2}}f(a^{\frac{1}{2}})=a^{\frac{1}{2}}\cdot a^{\frac{1}{4}}f(a^{\frac{1}{4}})=a^{\frac{1}{2}}\cdot a^{\frac{1}{4}}\cdot a^{\frac{1}{8}}f(a^{\frac{1}{8}})=\dots=a^{\frac{2^n-1}{2^n}}f(a^{\frac{1}{2^n}})$$ por lo tanto: $$f(a)=\lim_{n\rightarrow\infty}{a^{\frac{2^n-1}{2^n}}f(a^{\frac{1}{2^n}})} = \lim_{n\rightarrow\infty}{a^{\frac{2^n-1}{2^n}}}\cdot\lim_{n\rightarrow\infty}{f(a^{\frac{1}{2^n}})}=af\left(\lim_{n\rightarrow\infty}{a^{\frac{1}{2^n}}}\right)=af(1)$$ lo que significa básicamente que los theres $m\in\Bbb{R}$ tal que para cada $a>0$, $f(a)=ma$. Pero ahora, por cada $a<0$: $$f(a)=-f(-a)=-m\cdot(-a)=ma$$ por lo tanto, $f(a)=ma$ por cada $x\in\Bbb{R}$