Mostrar $\sum \frac{n}{2^n + n} <\frac 32$

Question

Deje $n\in \mathbb N^{+}$,muestran que $$\dfrac{1}{2+1}+\dfrac{2}{2^2+2}+\dfrac{3}{2^3+3}+\cdots+\dfrac{n}{2^n+n}<\dfrac{3}{2}$$

Answer 1

Usando ese $\sum_{n=k}^\infty n 2^{-n} = (k+1)2^{1-k}$, $$ \sum_{n=1}^\infty \frac{n}{2^n + n} < \frac{1}{3} + \frac{2}{6} + \frac{3}{11} + \frac{4}{20} + \frac{5}{37} + \sum_{n=6}^\infty \frac{n}{2^n}\\ = \frac{1}{3} + \frac{2}{6} + \frac{3}{11} + \frac{4}{20} + \frac{5}{37} + \frac{7}{32} = \frac{291727}{195360} < \frac{3}{2}. $$

También feo, pero también funciona.

Answer 2

Voy a sugerir un feo solución y espero que alguien se refinan.

Lo feo es que usted debe comprobar la desigualdad de la $1\leq n\leq 8$.

Después de hacer esto usted puede probar el uso de $2$ inducción que para $n\geq 9$ el siguiente más fuerte desigualdad se cumple:

$$\sum \frac{n}{2^n+n}\leq \frac{3}{2}-\frac{1}{n}.$$

Tengo que admitir, que es feo, pero funciona.

Answer 3

$$\sum_{n\geq 1}\frac{n}{2^n+n} = \frac{31}{33}+\sum_{n\geq 4}\sum_{k\geq 1}(-1)^{k+1} n^k 2^{-nk}\leq \frac{31}{33}+\frac{5}{8}-\frac{173}{1728}+\frac{25157}{1229312}<\frac{3}{2}. $$