Pregunta de topología de conjuntos: topologías compactas de Hausdorff

Question

$\tau_1,\tau_2,\tau_3$ son topologías en un conjunto tal que $\tau_1\subset \tau_2\subset \tau_3$ y $(X,\tau_2)$ es un espacio compacto de Hausdorff. ¿Podría alguien decirme cuál de los siguientes es correcto?

1. $\tau_1=\tau_2$ si $(X,\tau_1)$ es compacto de Hausdorff.
2. $\tau_1=\tau_2$ si $(X,\tau_1)$ es compacto.
3. $\tau_2=\tau_3$ si $(X,\tau_3)$ es Hausdorff.
4. $\tau_2=\tau_3$ si $(X,\tau_3)$ es compacto.

Answer 1

Pista: La asignación de identidad $(X,\tau_{i+1}) \to (X,\tau_i)$ es continua y una biyección continua de un espacio compacto a un espacio de Hausdorff es un homeomorfismo. Esto se encarga de dos afirmaciones y las otras dos son refutadas al considerar la topología trivial y discreta en un espacio de Hausdorff compacto e infinito $(X,\tau_2)$.