Si $| \sum b_n| < L$ y $b_n \to 0$ y luego converge?

Question

Si tenemos una serie $ \sum b_n$ que está limitada (sus sumas parciales están limitadas) y los términos van a cero, ¿significa que converge? Estoy luchando por encontrar un contraejemplo pero no sé cómo seguir adelante con una prueba.

editar: ¿Qué otros criterios se necesitan en nuestras suposiciones para que este teorema sea cierto?

Answer 1

Considere $1-1/2-1/2 + 1/3+1/3+1/3 -1/4-1/4-1/4-1/4 +\cdots$ Sus sumas parciales varían de $0$ a $1$ infinitas veces, por lo que están acotadas, y los términos $\to 0.$ Pero la serie diverge, precisamente por la oscilación de las sumas parciales.

Answer 2

No, no es así. Consideremos la secuencia acotada $$1, \frac12,0, \frac13,\frac23,1,\frac 34,\frac24,\frac14,\dots$$ como las sumas parciales. Entonces los términos $b_n$ , siendo $\pm\frac1k$ , tienden a $0$ como $n\to \infty$ pero la serie no converge.

Answer 3

No es necesario que converja. Por ejemplo, construyamos una suma $$ 1-\frac{1}{2}-\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\dots $$ negando algunos de los términos de la serie armónica. Empezaremos asignando un signo positivo hasta que la suma parcial sea al menos $1$ ; entonces asignaremos signos negativos hasta que sea negativo; entonces asignaremos signos positivos hasta que sea al menos $1$ de nuevo; y así sucesivamente.

La secuencia de sumas parciales está acotada por encima de $2$ y abajo por $-1$ . Pero la divergencia de la serie armónica significa que tendremos infinitos cambios de signo, así que ciertamente no puede ser Cauchy.