Subgrupo libre de un producto libre amalgamado

Question

Tengo la siguiente pregunta:

Sea $G=A\underset{C}\star B$ sea el producto libre de dos grupos $A$ y $B$ con amalgama $C$ tal que $C\cap vCv^{-1}=1$ para todas las palabras reducidas $v$ en G con longitud $\geq k$ . Sea $w\in G$ sea una palabra reducida de longitud $\geq 2k+1$ . Quiero demostrar que $\langle A,wAw^{-1} \rangle\cong A\star A$ .

¿Cómo puedo demostrar que $A\cap wAw^{-1}=1$ ? ¡Gracias por la ayuda!

Answer 1

Piensa en este problema en el árbol de Bass-Serre $T$ para la amalgama. El grupo $G$ actúa sobre $T$ y el árbol $T$ tiene un vértice $V_A$ con subgrupo estabilizador $A$ un vértice $V_B$ con estabilizador $B$ y una arista orientada $E = V_A \rightarrow V_B$ con estabilizador $C$ de modo que cada vértice se encuentre en el $G$ -órbita de $V_A$ ou $V_B$ y cada arista está en la órbita de $E$ .

Voy a hacer algunas suposiciones sobre su palabra reducida $w$ sólo para centrarnos en un caso especial: $w=w_1 \ldots w_{2l+1}$ tiene longitud impar $2l+1$ ; y la primera y la última letra $w_1, w_{2l+1}$ están en $B$ . (Para la demostración completa se necesitan algunos otros casos especiales muy similares).

Con estos supuestos, el camino en el árbol $T$ de vértice $V_A$ al vértice $w \cdot V_A$ tiene longitud $2l+2$ y pasa por la siguiente secuencia de vértices:

$$V_A \rightarrow V_B \leftarrow w_1 \cdot V_A \rightarrow w_1 w_2 \cdot V_B \leftarrow w_1 w_2 w_3 \cdot V_A \rightarrow w_1 w_2 w_3 w_4 \cdot V_B \leftarrow \ldots $$ $$ \ldots \rightarrow w_1 w_2 \cdots w_{2L-1} w_{2L} \cdot V_B \leftarrow w_1 w_2 \cdots w_{2l-1} w_{2l} w_{2l+1} \cdot V_A = w \cdot V_A $$ Además, las aristas dirigidas representadas por las flechas en esta secuencia son $$E, w_1 \cdot E, w_1 w_2 \cdot E, w_1 w_2 w_3 \cdot E, \ldots, w_1 w_2 \cdots w_{2L-1} w_{2l} E, w_1 w_2 \cdots w_{2l-1} w_{2l} w_{2l+1} E $$

Supongamos ahora que $A \cap w A w^{-1}$ contiene un elemento no trivial $g \in G$ . El estabilizador de $w \cdot V_A$ es igual a $w A w^{-1}$ Así que $g$ fija los dos vértices $V_A$ , $w \cdot V_A$ que son los puntos finales de la ruta. Dado que $T$ es un árbol, $g$ debe fijar cada punto a lo largo de ese camino, en particular cada vértice y cada arista orientada a lo largo de ese camino. Por tanto, $g$ fija ambos bordes $E$ y $w_1 w_2 \cdots w_k \cdot E$ . Establecer $v=w_1w_2\cdots w_k$ . El estabilizador de $vE$ es $vCv^{-1}$ Así que $g \in C \cap vCv^{-1}$ contradicción.

Por cierto, me parece que esta prueba no utiliza toda la potencia de su desigualdad hipotética $2l+1 \ge 2k+1$ sólo utiliza $2l+1 \ge k$ . Supongo que necesitas toda la potencia de la desigualdad en otra parte de la prueba.