Aproximación de procesos estocásticos en Protter

Question

Estoy leyendo Stochast integración y estocástica de la ecuación diferencial por Protter. En particular, tengo una pregunta acerca del Teorema de 10 en el capítulo 2.4. Aquí Protter define una simple predicción de los procesos de $H$ si se tiene una representación $$H_t=H_0\mathbf1_{\{0\}}+\sum_{i=1}^nH_i\mathbf1_{(T_i,T_{i+1}]}(t)$$ donde $0=T_1\le \dots\le T_n<\infty$ son los tiempos de parada y $H_i\in\mathcal{F}_{T_i}$$|H_i|<\infty$.s. La recopilación de todos estos procesos es que se denota con S. En el Teorema 10 quiere demostrar que S es denso en el espacio de todas adaptadas caglad procesos, que se denota con a $\mathbb{L}$, w.r.t. ucp convergencia.

El objetivo es, por tanto, para aproximar $Y\in\mathbb{L}$ con una secuencia en S. Primero se puede reducir la demanda a $Y$ además están acotados. Luego ve a la derecha continua "versión" de $Y$, es decir, $$Z:=\lim_{u\downarrow t}Y_u$$

Claramente esta es una adaptación y cadlag proceso. Ahora el punto clave de la prueba es definir la siguiente secuencia de tiempos de parada para $\epsilon>0$: $$T^\epsilon_0:=0$$ $$T^\epsilon_{n+1}:=\inf\{t:t>T^\epsilon_n \text{ and }|Z_t-Z_{T^\epsilon_n}|>\epsilon\}$$

Por otra parte $$Z^\epsilon:=\sum_n Z_{T^\epsilon_n}\mathbf1_{[T^\epsilon_n,T^\epsilon_{n+1})}$$ Protter dice $Z^\epsilon$ converge uniformemente a$Z$$\epsilon\to 0$. En qué sentido tiene que significar de manera uniforme y cómo se establece?

Suponiendo que esto define a la izquierda continuo proceso de $$ U^\epsilon=Y_0\mathbf1_{\{0\}}\sum_n Z_{T^\epsilon_n}\mathbf1_{(T^\epsilon_n,T^\epsilon_{n+1}]}$$ ¿Cómo funciona el procedimiento implica la $U^\epsilon\to Y_0\mathbf1_{\{0\}}+Z_{-}=Y$ en la ucp sentido?

Answer 1

Primera pregunta:

Protter dice $Z^\epsilon$ converge uniformemente a$Z$$\epsilon\to 0$. En qué sentido tiene que significar de manera uniforme y cómo se establece?

$A$Z^\epsilon=\sum_n Z_{T^\epsilon_n}\mathbf1_{[T^\epsilon_n,T^\epsilon_{n+1})} \\ |Z^\epsilon - Z| =\sum_n |Z_{T^\epsilon_n}-Z| \mathbf1_{[T^\epsilon_n,T^\epsilon_{n+1})}$$

ahora, utilizando la definición de $T^\epsilon_{n+1}$, usted obtener $$ |Z^\epsilon-Z| \mathbf1_{[T^\epsilon_n,T^\epsilon_{n+1})} \le \epsilon\mathbf1_{[T^\epsilon_n,T^\epsilon_{n+1})} $$ y entonces, la convergencia es uniforme en el sentido fuerte: $$ \sup_{t>0} |Z_t^\epsilon -Z_t| \le \epsilon $$

Segunda pregunta:

$Z,Y$ sólo difieren en sus (al azar) discontinuidades.

Fijemos $T$,$[0,T]$. Debido a la convergencia uniforme de $Z^\epsilon$ $Z$, y debido a que cada discontinuidad de $Y$, lo suficientemente grande como para matar a la desigualdad $$ \sup_{0\le t\le T} |Z_\epsilon-Z| \le \epsilon $$ es una de las $T^\epsilon_n$ en la que el valor ha sido cambiado de $Z^\epsilon$ $U^\epsilon$, a continuación, la convergencia $U^\epsilon\to Y$ es uniforme en everysubset $[0,T]$.

En realidad a mí me parece que la convergencia es más fuerte que la convergencia dicho, así que no hay tal vez algo me estoy perdiendo.