Generalizar el Teorema chino del resto

Question

¿Tenemos que luchar por ideales de $I,J$ % anillo $R$$R=I+J$, $$\frac{R}{I\cap J} \cong \frac{R}{I} \times \frac{R}{J}$ $ mi pregunta es si la expresión análoga para tres ideales $I,J,K$ donde $R=I+J+K$ es cierto?

Creo que he encontrado en un contraejemplo con $R=\mathbb{Z}$, $I=2\mathbb{Z}$, $J=2\mathbb{Z}$, $K=3\mathbb{Z}$.

Aquí, $R=I+J+K$ y $\frac{R}{I\cap J\cap K}=\frac{R}{I \cap J}=\frac{\mathbb{Z}}{6\mathbb{Z}} \cong \frac{R}{I} \times \frac{R}{J}$

Tenemos que no es isomorfo a $\frac{R}{I} \times \frac{R}{J}$ $\frac{R}{I} \times \frac{R}{J}\times \frac{R}{K}$ y este es nuestro contraejemplo.

¿Puede alguien por favor verificar que este contraejemplo es el sonido? Gracias

Answer 1

El contraejemplo es correcta. La generalización correcta del teorema del resto chino, obtenido por inducción sobre la declaración que dio es:

Supongamos que $I_1,\ldots,I_n$ son ideales de un anillo $R$ que son comaximal pares, es decir, para cualquier $1\leq i\ne j\leq n$ tenemos $I_i+I_j=R$. Entonces $$\frac{R}{I_1\cap\cdots\cap I_n}\cong \frac{R}{I_1}\times\cdots\times\frac{R}{I_n}$ $