Cómo integrar$\ln \big( b + \sqrt{b^2 + c^2 + x^2}\,\big)$?

Question

Estoy buscando para demostrar el siguiente resultado. Ideas son apreciadas. $$\begin{align}\int \ln \left( b + \sqrt{b^2 + c^2 + x^2}\right) dx = &\;x \ln \left( b + \sqrt{b^2 +c^2 +x^2}\right) +b \ln \left(2x + 2\sqrt{ b^2 +c^2 +x^2} \right)\\&\; - c \arctan \left(\frac{ b x} { c \sqrt{b^2 +c^2 +x^2}}\right) + c \arctan \left(\frac{x}{c}\right) -x \end {Alinee el} $$

Answer 1

Del primer término a la derecha vamos a tratar de integración por partes:\begin{align} I(b,c)&:=\int \ln \left( b + \sqrt{b^2 + c^2 + x^2}\right) dx-x \ln \left( b + \sqrt{b^2 +c^2 +x^2}\right) \\ &= -\int x\frac{1}{b + \sqrt{b^2 +c^2 +x^2}}\frac{2\,x}{2\sqrt{b^2 +c^2 +x^2}}\,dx\\ &= \int \frac{{b - \sqrt{b^2 +c^2 +x^2}}}{c^2 +x^2}\frac{x^2}{\sqrt{b^2 +c^2 +x^2}}\,dx\\ &= b\int \frac{c^2+x^2-c^2}{(c^2 +x^2)\sqrt{b^2 +c^2 +x^2}}\,dx-\int\frac{x^2}{c^2 +x^2}\,dx\\ &= b\int \frac{dx}{\sqrt{b^2 +c^2 +x^2}}-\int \frac{b\,c^2}{(c^2 +x^2)\sqrt{b^2 +c^2 +x^2}}\,dx+\int\frac{c^2-(c^2+x^2)}{c^2 +x^2}\,dx\\ &= b\,\ln \left(2x + 2\sqrt{ b^2 +c^2 +x^2} \right) - c\,\arctan \frac{ b x} { c \sqrt{b^2 +c^2 +x^2}} + c\, \arctan \frac{x}{c} -x\\ \end {Alinee el} tres los últimos deben ser más directos.

Answer 2

Ya que son parte integrante de la función $f(x)$ es tal función $F(x)$ así que $F'(x) = f(x) + C$ $C \in \mathbb{R}$ puede encontrar derivado de su resultado y compararlo con la tarea original.