¿Cómo puedo demostrarlo?
Obviamente como $n$ acercamientos infinito contará con infinitamente muchas factorizaciones privilegiados, por lo que la serie de productos acerca a infinito, así. ¿Cómo puedo formalmente demostrar esto?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Stephan Aßmus
Puntos
16
La forma más barata es $$ \phi(n) \geq \sqrt {\frac{n}{2}}, $$ with equality at $2$ sólo.
Hay un poco más débil resultado de que a veces se administra como una pregunta aquí, tal vez algo a lo largo de las líneas de $(1/2) \sqrt n,$ que no requiere el procedimiento completo... de todos modos, a ver Es la phi de Euler función acotada abajo? donde el valor es Ramanujan, las mismas pruebas como para Colosalmente Números Abundantes y Muy Superior Compuesto de Números. Tenemos una secuencia infinita de las desigualdades, donde la forma general es la de Rosser y Schoenfeld cosa, pero estos son más fáciles de calcular y mejor para los pequeños $n.$, de todos Modos, después de la raíz cuadrada, el siguiente sensible es $$ \phi(n) \geq 2 \left( \frac{n}{6} \right)^{2/3}, $$ with equality at $6$ sólo.
Alotor
Puntos
3438
Puedes usar la parte del Teorema 15 de Rosser y Shoenfeld del papel http://www.math.wvu.edu/~mays/745/Rosser-Schoenfeld%20(euclides.ijm.1255631807).pdf el cual establece que $$ \frac{n}{\phi(n)} < e^c \log \log n + \frac{5}{2 \log\log n} $$ donde $c=0.57721566...$ es de Euler constante, para todos los $n>223092870$.
Agregó: O, ver Tenenbaum la Introducción a la Analítica y Probabilística de la Teoría de números, página 84, Teorema 4, en donde se demuestra que $\phi(n)$ tiene un mínimo de orden $$ e^{-\gamma} \frac{ n } {\log \log n}$$ donde $\gamma$ es la constante de Euler.
Añadió #2: Más básicamente, tenemos $$ \phi(n) = n \prod_{p^{\alpha} || n} \left( 1-\frac{1}{p} \right) \ge n \left(1-\frac{1}{2} \right)\left(1-\frac{1}{3}\right)^{\omega(n)-1} \\ \ge n \left( \frac{1}{2} \right) \left( \frac{2}{3} \right)^{\frac{\log n}{\log 2} -1 } \\ = \frac{3}{4} n ^{2 - (\log 3)/(\log 2)} $$ y la última expresión tiende a $\infty$$n$.
