Encontrar $f(x)$ de ecuación funcional

Question

Le agradeceria si alguien me pudiera ayudar con el siguiente problema:

P: buscar todas conti-función $f(x)~ (x>0)$

$$xf(x^2)=f(x)$$

Answer 1

Desde $x^2f(x^2)=xf(x)$, que $g(x):=x(f)$, entonces el $g(x^2)=g(x)$.

Sigue que $g(x)=\lim_{n\to \infty} g(\sqrt[2^n]{x})=g(1):=C$. Así $f(x)=C/x$.

Answer 2

$xf(x^2)=f(x)$

$x^2f(x^2)=xf(x)$

Que $g(x)=xf(x)$,

Entonces $g(x^2)=g(x)$

Que $\begin{cases}x_1=\log_2x\\g_1(x_1)=g(x)\end{cases}$,

Entonces $g_1(2x_1)=g_1(x_1)$

Que $\begin{cases}x_2=\log_2x_1\\g_2(x_2)=g_1(x_1)\end{cases}$,

Entonces $g_2(x_2+1)=g_2(x_2)$

$g_2(x_2)=\Theta(x_2)$, donde $\Theta(x_2)$ es una arbitraria función periódica con período de unidad

$g(x)=\Theta(\log_2\log_2x)$, donde $\Theta(x)$ es una arbitraria función periódica con período de unidad

$\therefore f(x)=\dfrac{\Theta(\log_2\log_2x)}{x}$, donde $\Theta(x)$ es una arbitraria función periódica con período de unidad