Supongamos que $y(x)$ es continua y $y'(x)=0$ tiene innumerables soluciones pero $y(x)$ no es constante en ningún intervalo. ¿Es esto posible?

Question

Supongamos que $y(x)$ es continua y $y'(x)=0$ tiene innumerables soluciones pero $y(x)$ no es constante en ningún intervalo. ¿Es esto posible?

Answer 1

Tomemos un conjunto de Cantor $C\subseteq [0,1]$ y que $d(x)$ sea la función de distancia de $x$ a $C$ . Entonces $(d(x))^2$ es diferenciable con derivada que desaparece en todos los puntos de $C$ por lo que son incontables.

Answer 2

Sí, es cierto. Un ejemplo clásico de esta función impar es la función de Cantor. Se define así: para $x$ en $[0,1]$

1.Expresa x en base 3.

2.Si x contiene un 1, sustituye cada dígito después del primer 1 por un 0.

3.Sustituye todos los 2s por 1s.

4.Interpreta el resultado como un número binario. El resultado es c(x).

Esta función tiene la derivada $0$ casi en todas partes (es decir, los lugares donde no tiene $0$ derivado tiene medida $0$ ) y, sin embargo, se las arregla para aumentar el valor de $0$ en $x=0$ a $1$ en $x=1$ .

Hay mucho escrito sobre la función de Cantor. Quizá la wikipedia sea el mejor punto de partida: https://en.wikipedia.org/wiki/Cantor_function