Incrustaciones de espacios de Banach ponderada

Question

Que ser $d$ un entero positivo, $\Omega=\mathbb{R}^{\mathbb{Z}^d}$ y fijar $R\geq 2$. Definir espacios de Banach ponderadas

$$ \Omega_p:=\left\{ x\in \Omega\left| \left[\sum_{i\in\mathbb{Z}^d}\frac{|x_i|^R}{(1+|i|)^p}\right]^{\frac{1}{R}} < \infty\right. \right\},\ \ \ \ \ \ \ p>d. $$

Mi pregunta es por qué las incrustaciones

¿$\Omega_p \hookrightarrow \Omega_{p'}$ son compactas cuando $p< p ' $?

Answer 1

Si entiendo la pregunta, no hay casi nada para probar. Me parece que usted está buscando un operador diagonal de $\ell_R$ a sí mismo donde van las entradas diagonales a cero. (Cada espacio $\Omega_p$ es isométrica isomorfo a $\ell_R$ vía el mapa diagonal obvio).

Answer 2

Este es un caso especial de un fenómeno mucho más general, por lo que estoy escribiendo una respuesta en la que deliberadamente se lleva un poco funcionales de alto nivel-analítica punto de VISTA; creo (personalmente) que esto hace que sea más fácil ver la madera de los árboles, incluso si esto podría no ser la más directa de la prueba. Sin embargo, dependiendo de su formación matemática que puede no ser la más útil; así que disculpas de antemano.

De todos modos, comenzar con una observación general: deje $E$ ser (real o complejo) espacio de Banach, y para cada una de las $n=1,2,\dots$ deje $T_n:E\to E$ ser un delimitada operador lineal que tiene rango finito. (En particular, cada una de las $T_n$ es un operador compacto.)

Lema: Supongamos que la secuencia de $T_n$ converge en el operador de la norma para algunos lineal operador $T:E\to E$. A continuación, $T$ es compacto.

(La prueba debe ser dado en el funcional de la analítica de los libros de texto, así que por el bien de espacio no voy a repetir el argumento aquí.)

Ahora consideramos que estos espacios específicos $\Omega_p$. Deje $T:\Omega_p\to\Omega_{p'}$ ser la incrustación que usted describe.

Para cada una de las $n$, definir $T_n: \Omega_p \to \Omega_{p'}$ por la siguiente regla:

$$ T_n(x)_i = x_i \ {\rm if } \ |i| \leq n \ {\rm and} \ 0 \ {\rm otherwise} $$

A continuación, cada una de las $T_n$ tiene rango finito (porque cada vector de la imagen se apoya en el conjunto finito $\{ i \in {\mathbb Z}^d \vert \ \vert i\vert \leq n\}$). Yo reclamo que $T_n$ converge a $T$ en el operador de la norma, la cual, por nuestro lema implica que la $T$ es compacto, como se requiere.

Podemos estimar que esta norma con bastante facilidad (y, de hecho, todo lo que necesitamos es un límite superior). Deje $x\in\Omega_p$ han norma $\leq 1$; es decir, $$ \sum_{i\in{\mathbb Z}^d} |x_i|^R (1+ \vert i\vert)^{-p} \leq 1 $$

Entonces la norma de $(T-T_n)(x)$ $\Omega_{p'}$ va a la igualdad de $C^{1/R}$, donde

$$ \eqalign{ C &:= \sum_{i\in {\mathbb Z}^d : \vert i\vert > n} |x_i|^R (1+\vert i \vert)^{-p'} \\\\ & = \sum_{i \in {\mathbb Z}^d : \vert i\vert > n} |x_i|^R (1+\vert i \vert)^{p} \cdot (1+\vert i \vert)^{p-p'} \\\\ & \leq \sum_{i \in {\mathbb Z}^d : \vert i\vert > n} |x_i|^R (1+\vert i \vert)^{p} \cdot (1+\vert n \vert)^{p-p'} \\\\ & \leq \sum_{i \in {\mathbb Z}^d } |x_i|^R (1+\vert i \vert)^{p} \cdot (1+\vert n \vert)^{p-p'} Y = (1+\vert n \vert)^{p-p'} } $$

Esto demuestra que $\Vert T-T_n\Vert \leq (1+\vert n\vert)^{(p-p')/R}$ y el lado derecho puede hacerse arbitrariamente pequeña tomando $n$ lo suficientemente grande. Es decir, $T_n\to T$ en el operador de la norma, como se ha dicho, y el argumento es completa (siempre tomamos el lema en la confianza).

Tenga en cuenta que hemos utilizado muy poco acerca de la naturaleza especial de los pesos. De hecho, como Bill Johnson respuesta se indica, la única característica importante es que en el cambio de peso en el efecto de multiplicar el vector $x$ por un "multiplicador de la secuencia" que se encuentra en $c_0({\mathbb Z}^d)$, es decir, las entradas de "desaparecer en el infinito".

Editar 17-02-10: el párrafo anterior fue quizás un poco demasiado concisa. A lo que me refería era el siguiente: suponga que usted tiene dos pesos $\omega$$\omega'$, de tal manera que la ración $\omega/\omega'$ se encuentra en $c_0({\mathbb Z}^d)$. A continuación, el mismo argumento anterior muestra que la correspondiente incrustación será compacto. Realmente, esto es lo que Bill, fue la respuesta de conducción: no se trata de las pesas que son importantes, es el hecho de que el factor implicado en el cambio de peso se da por algo "de fuga en el infinito".