$\Gamma(x)=\lim_{n\to\infty} \frac{n^x n!}{x(x+1)\cdots (x+n)}$?

Question

Ahora estoy leyendo de Artin Función Gamma.

$\Gamma(x)=\lim_{n\to\infty} \frac{n^x n!}{x(x+1)\cdots (x+n)}$?

Él demostró la igualdad anterior cuando es real usando el hecho $x$ $\Gamma$ es registro-convexo.

¿Cómo amplío esto al plano complejo?

No saben a continuación analítica así que por favor, Dame una prueba relativamente elemental si es posible. Gracias :)

Answer 1

Lo pruebo para el caso Re(z) > 0, WLOG.

Tenga en cuenta que $\forall n\in\mathbb{Z}^+, \int_0^n t^{z-1} (1-\frac{t}{n})^n dt = \frac{n^z n!}{z(z+1)\cdots(z+n)}$.

Fijar $n\in \mathbb{Z}^+$ y $\mu$ ser la medida de Lebesgue.

Entonces, existe $F_n\in L^1(\mu$) tal que $F_n\upharpoonright (0,n] = t^{z-1}(1-\frac{t}{n})^n$ y $F_n=F_n\chi_{(0,n]}$.

Tenga en cuenta que $|F_n(t)| \leq t^{z-1} e^{-t}$ y $\lim_{n\to\infty} F_n(t) = t^{z-1}e^{-t}$.

Mediante la aplicación de la convergencia monótona o Teorema dominado de la convergencia:

$\lim_{n\to\infty} \frac{n^z n!}{z(z+1)\cdots(z+n)}=\int_0^\infty t^{z-1}e^{-t}$