Probar la continuidad de estos mapas

Question

Historia: soy un examen de pronto, y estas son las tareas que siguen llegando, no puedo terminar ninguna de ellas hasta el final, pero tienen ideas sobre la resolución de ellos, y me gustaría escuchar sus pensamientos sobre eso, y si alguien puede que me señale en la dirección correcta en la solución de ellos. (El mejor escenario es el caso que se resuelve, pero que sería poco realista esperar). De todos modos, se basa en lo que yo creo es en general la misma idea.

1.Demostrar la continuidad de las siguientes funciones:

un.) $$f(x,y)= \begin{cases} \tan(x^3+y^3)\frac{\ln(x^2+y^2)}{x^2+y^2},(x,y)\neq(0,0) \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 1, (x,y)= (0,0) \end{cases}$$

b.)

$$f(x,y,z)=\begin{cases} (x^4+y^4)\frac{\sin(x^2+y^2+z^2)}{x^2+y^2+z^2}, (x,y,z) \neq(0,0,0) \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0, (x,y,z)=(0,0,0) \end{cases}$$ -Estos, los dos primeros no tengo idea de cómo terminar,o llegar muy lejos en todo, tareas que parecen similares en clase nos había elija $x_n \to 0$ $f(x_n) $ no coincide con la definición.

c.) $$h(x,y)=\begin{cases}y-\frac{\sin x}{x}, x \neq0 \\ y-1,x=0 \end{cases}$$ -Aquí, esto parece trivial, pero no estoy seguro de si estoy en lo correcto: $\frac{\sin x}{x}\to^{x\to 0} 1.$, por Lo que la función es continua en 0, y así como más allá de cero, como una composición de funciones continuas.
d.) $$p(x,y)=\begin{cases}y- \frac{e^{x^2+y^2}-x^2-y^2}{x^2+y^2}, x^2+y^2 \neq 0\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -1,\ x=y=0 \end{casos}$$ -Con esto parece que para mí sería la mejor manera de incorporar las coordenadas polares. Pero no estoy si que es el camino a seguir, o la forma en que concretamente me ayude.

e.)(Este uno de los que más me interesa)

$$f(x,y)= \begin{cases} \frac{\tan x}{x}+y,\ 0 < \| x \| <1. \\ \ \ \ \ \ \ 1+y ,\ \ x=1 \end{cases}$$ on $(-1,1)\times \mathbb{R}$

2.Hacer las siguientes funciones de mapa de $x^2+y^2\leq1$ a un conjunto cerrado ?

un.) $$f(x,y)=\begin{cases} a-by\frac{e^x-1}{x}, x\neq 0 \\ \ \ \ \ \ \ \ a-by, x=0 \end{cases}$$ Here I would think proving continuity because $\frac{e^x-1}{x}\a 1 $ when $x\to 0$

b.) $$f(x,y)=\begin{cases}a + \frac{b\tan(x^2+y^2)}{x^2+y^2}, (x,y)\neq (0,0)\\ a+b ,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (x,y)=0 \end{cases}$$

Answer 1

1).

$$f(x,x) = \frac{\tan (2x^3)\ln (2x^2)}{2x^2} = \frac{\tan (2x^3)}{2x^3}x\ln (2x^2)$$ $$= \frac{\tan (2x^3)}{2x^3}x(\ln 2 + 2\ln |x|).$$

Ahora $\lim_{u\to 0}\tan u/u = 1,$ $\lim _{x\to 0}x\ln (|x|)= 0.$ Se sigue que $\lim _{x\to 0}f(x,x) = 0\ne f(0,0).$ $f$ no es continua en a $(0,0).$

(Es posible que el problema fue malinterpretado?)

b. La función de $g(u) = \sin u/u, u\ne 0, g(0)=1$ es continua (de hecho $C^\infty$) $\mathbb {R}.$ $g(x^2+y^2)$ es continua en a $\mathbb {R}^2, $ la composición de funciones continuas. Ahora $f(x,y) = (x^4+y^4)g(x^2+y^2)$ es el producto de dos funciones continuas, por lo tanto $f$ es continua.

c. Nuevo look en el $g$ de b. por encima de. Tenemos $f(x,y) = y-g(x),$, con una diferencia de dos funciones continuas, por lo tanto $f$ es continua.

d. Como $(x,y) \to (0,0), e^{x^2+y^2} \to 1.$ $p(x,y)$ se parece a $0 - (1-0)/0^+$ $(x,y)$ cerca de $(0,0).$ por lo tanto $p(x,y) \to -\infty$$(x,y) \to (0,0)$, por lo que no es continua allí. (Problema malinterpretado?)

e. Esto es igual a b. y c. excepto que esta vez tenemos $g(u) = \tan u/u, u\ne 0, g(0)=1,$ que es continua en a $(-\pi/2,\pi/2).$ $f(x,y) = g(x) +y$ es continua en a $(-1,1)\times \mathbb {R}.$ (supongo que querías decir $f(x,y) = 1+y, x = 0.$)

2). Estamos haciendo la misma cosa. Definir $g(u) = (e^u-1)/u, u\ne 0, g(0)=1.$ $g$ es continua en a $\mathbb {R}.$ Tenemos $f(x,y) = a-byg(x)$ todas partes, por lo $f$ es continua en a $\mathbb {R}^2.$ Ahora una función continua mapas de un conjunto compacto a un conjunto compacto, por lo $f(\{x^2+y^2\le 1\})$ es compacto, por lo tanto cerrado.

b. Totalmente el mismo. El uso de la $g$ a partir del 1.e. Luego tenemos la $f(x,y) = a + bg(x^2+y^2),$ por lo tanto $f$ es continua. Por lo $f(\{x^2+y^2\le 1\})$ es compacto como el anterior.

Answer 2

1, un. $(x,y)\not=(0,0)$, Que $M=max(abs(x),abs(y))$. Observe que $tan(x^3+y^3)=K(x,y)(x^3+y^3)$ donde K(x,y) tiende a $1$ $(x,y)$ tiende a $0$, y el valor absoluto de $x^3+y^3$ puede exceder $2M^3$. También $ abs(log(x^2+y^2))$ no puede exceder $log 2M^2 = (log 2)+2log M$, mientras que el denominador $x^2+y^2$ es al menos $M^2$. Por último, $MlogM$ va a $0$ como M.