demostrar que el mayor número de regiones que $n \geq 1$ círculos pueden dividir el plano es $n^2-n+2$

Question

Este es un problema de la inducción, pero no tengo ni idea como hacer algo como esto. ¿Cualquier sugerencias?

Answer 1

Sugerencia: Asuma que ya tiene $k$ círculos y dibujar uno más.

1. ¿En cuántos puntos se nuevo círculo se cruzan los anteriores - como máximo?
2. ¿Cuántos arcos se divide ese nuevo círculo en (por los puntos de intersección)?
3. ¿Cuántas regiones existentes se dividen en dos (como máximo)?

Answer 2

Sugerencia: Supongamos que el resultado es $n$ y considerar un arreglo con $n + 1$ círculos. Escoge un círculo $C$. ¿En a más cantidad de puntos en total puede $C$ cumplir con los otros círculos de $n$?