Distribución de cuantificadores universales

Question

Sé que un cuantificador universal puede distribuirse sobre la conjunción y no sobre la disyunción, pero me cuesta entenderlo. ¿Por qué es así? ¿Hay algún ejemplo de enunciado que demuestre este principio?

Answer 1

Intuitivamente, la razón por la que la cuantificación universal puede ser distribuida sobre la conjunción es que la cuantificación universal ya puede ser vista como conjunción: $(\forall x)\Phi(x)$ puede ser visto como la conjunción de $\Phi(d)$ tomada sobre cada elemento $d$ del dominio. Visto así, $(\forall x)(\Phi(x) \land \Psi(x))$ y $(\forall x)\Phi(x) \land (\forall x)\Psi(x)$ son equivalentes porque ambos representan una conjunción gigante de cada instancia de $\Phi(d)$ junto con cada instancia de $\Psi(d)$ . Esto se puede precisar mirando el esquema de Tarski para la verdad en una estructura.

Por la misma razón, la cuantificación existencial puede ser distribuida sobre la disyunción, porque $(\exists x)\Phi(x)$ puede verse como la disyunción de cada posible instancia de sustitución de $\Phi$ .

En la literatura antigua, la gente utilizaba $\bigwedge_x$ para $\forall$ y $\bigvee_x$ para $\exists$ por esta razón.

Ahora, continuando con este punto de vista informal, la razón por la que $\forall$ no se puede distribuir sobre la disyunción es que no se cumple una determinada regla distributiva: $$ \bigwedge_x\left(\Phi(x) \lor \Psi(x)\right) $$ no es en general lo mismo que $$ (\bigwedge_x \Phi(x)) \lor (\bigwedge_x \Psi(x)) $$ De hecho, esta regla ya falla cuando sólo hay dos elementos en el dominio, porque la fórmula proposicional $(P \lor Q) \land (R \lor S)$ no es equivalente a $(P \land R) \lor (Q \land S)$ .

Answer 2

(xN)(Ex V Ox)

N: conjunto de números naturales

Ej: x es par

Buey: x es impar

Es una afirmación verdadera

(xN)(Ex) V (xN)(Ox) No es una afirmación verdadera. No es cierto que todos los números naturales sean pares y no es cierto que todos los números naturales sean Impares.

Answer 3

Matt E, en su comentario, hace dos afirmaciones. Muestra que un cuantificador universal no puede distribuirse sobre la disyunción, porque si pudiera, una afirmación falsa se seguiría lógicamente de una verdadera. La afirmación "Un cuantificador universal puede distribuirse sobre la disyunción" es en sí misma una afirmación universal, y sólo requiere un contraejemplo para refutar lo.

"Un cuantificador universal puede distribuirse sobre la conjunción" es también una afirmación universal. No puede ser probado con ejemplos. Puede haber algún contraejemplo en el que no hayamos pensado. Entonces, ¿cómo sabemos que es verdad? -- ¡Buena pregunta!