¿Por qué decimos función "parametrizada por" función justo vs de (x, y, z,...)?

Question

Estoy estudiando las estadísticas, y en muchos de los libros de texto, las fórmulas de regresión siempre se refiere a las funciones propias como f(x) parámetros a,b,c o algo así. Y que a menudo se escriben$f(x; a,b,c)$, ¿por qué no podemos simplemente escribir,$f(x, a, b, c)$?

Me gustaría saber tal vez la historia de cómo ocurrió, y por qué no es esta aparentemente dual método de expresar la misma idea. Hay algunos esotéricos la notación matemática que un novato como yo, no ha encontrado todavía, o lo hicieron los matemáticos de la antigüedad como hacer las cosas de diferentes maneras?

Un ejemplo: Una función que se asigna a la edad de un árbol, a la altura:

$$f(age; growth\_rate) = age * growth\_rate$$ vs $$f(age, growth\_rate) = age * growth\_rate$$

Answer 1

Estrictamente hablando, usted está en lo correcto. A veces es difícil explicar claramente lo que es un parámetro y ¿qué es una variable. Cuando usted escribe $f(x;a,b,c)$, no hay ninguna diferencia matemática entre el $x$ $a$ por ejemplo, ambas son variables para la función de $f$. Creo que la verdadera diferencia está en cómo interpretamos las cosas. Cuando tenemos una expresión como $f(x;\theta)$ o $f_\theta(x)$, $x$ y $\theta$ no juegan el mismo papel, por eso utilizamos diferentes notaciones para ellos. De hecho, es por el bien de la claridad. Cuando usted tiene un montón de diferentes variables en una expresión, el uso de diferentes notaciones es una manera fácil de saber cuál es el papel que jugar.

En el marco de las estadísticas, la noción de parámetro es aún más importante. Como usted puede saber, hay toda una rama de la estadística denominada estadística paramétrica, donde presentamos las familias de distribuciones de probabilidad, indexado por un conjunto de parámetros: $$\mathcal{P}=\{P_\theta,\theta\in\Theta\}$$ donde $\Theta$ es un subconjunto de a $\mathbb{R}^d$. Tenga en cuenta que usted puede ver esto como una función de $\Theta$ para el conjunto de distribuciones de probabilidad en un espacio determinado. En muchos casos, $P_\theta$ tiene una densidad de w.r.t. la medida de Lebesgue, y se denota por a $f(x;\theta)$ o $f_\theta(x)$. Se puede ver en este ejemplo que $x$ $\theta$ tienen significados muy diferentes. $\theta$ es el parámetro que viene de nuestro modelo estadístico, mientras que $x$ es una variable de integración.

En otros casos, se utiliza el "frente" de la notación. Por ejemplo, cuando se considera la probabilidad de la función de $l(\theta;x_1,\dots,x_n)$, se considera principalmente como una función de la $\theta$ (a la que queremos maximizar la mayoría del tiempo), y $x_1,\dots,x_n$ fija los parámetros (que son la observación, no podemos cambiar). Una vez más, es una cuestión de contexto y significado de las variables.

Answer 2

Mientras que las respuestas ya dadas son correctas, sospecho que pueden traer en la terminología y notaciones que no están familiarizados con. Si es así, voy a tratar de proceder a la refundición de la respuesta más sencilla.

Usted está en lo correcto que $f(x; a, b, c)$ es exactamente lo mismo como $f(x, a, b, c)$. Pero la diferencia está en cómo estamos usando $x$ vs cómo estamos usando $a, b, c$. Con $f(x, a, b, c)$, todos los cuatro valores son igualmente importantes, igualmente de interés. Con el primero, estamos considerando $f$ como una función de la $x$ solamente. $a, b, c$ son simplemente valores que utilizamos en la definición de la función. Por lo que estos valores de las variables, también, el de las matemáticas que hacemos se aplica a todas las funciones de $x$ que son definidos por los distintos posibles valores de $a, b, c$, en lugar de tener que trabajar cada ejemplo en particular necesitamos por separado.

Por ejemplo, al hablar de las funciones lineales, vamos a escribir cosas tales como $$y = mx + b$$ You could consider this as defining $y$ as a function of three variables, $x, m, b$, but what is important is the dependence of $s$ on $x$. The slope $m$ and intercept $b$ are just values expressing which line is represented by the relationship between $s$ and $x$. So if want to find the root for $y = 0$, that is $x = \frac {b}{m}$, not $b = -mx$ or $m = \frac{-b}x$.

Que es lo que la notación $f(x; a, b, c)$ medios. Es solo decirles que $x$ es el único cuya varianza es importante para nosotros. Los demás vamos a considerar fija (aunque actualmente no se conoce) valores.

Answer 3

Creo que algo como esto: $f(x;\sigma) = e^{-x^2/\sigma^2}$.

Si usted lee por ejemplo "la derivada de $f$" probablemente usted inmediatamente se entienda que estamos hablando de $\partial f/\partial x$ porque reconocen $f$ como una función de la $x$, cuya definición contiene algunos $\sigma$ que no es una "variable".

De lo contrario, si usted lee: $f(x, \sigma) = e^{-x^2/\sigma^2}$ una frase como "la derivada de $f$" sería ambigua: es $\partial f/\partial x$? $\partial f/\partial \sigma$? $\nabla f = (\partial f/\partial x, \partial f/\partial \sigma)$?

Así que sin esta distinción, cada vez que uno tiene que escribir explícitamente "la derivada de $f$ con respecto a la variable $x$".

Answer 4

De hecho, hay una distinción formal entre el parámetro y argumento, que capta nuestra vista subjetivo.

Deje $P$ ser el espacio de parámetros (conjunto de tasas de crecimiento), $X$ el dominio (conjunto de edades) y $Y$ el codominio (conjunto de alturas). Una familia de funciones de $X$ $Y$parametrizarse por $P$ es formalmente una función de $f: P \rightarrow Y^X$ donde $Y^X$ es el conjunto de funciones de$X$$Y$.

En otras palabras, es una función de tomar las tasas de crecimiento y de devolución de los mapas de las edades a las alturas.

Por supuesto, estás en lo correcto de que esta naturalmente y de forma exclusiva corresponde a una función $F: P \times X \rightarrow Y$, es decir, una función que recibe una tasa de crecimiento y la edad y la devolución de una altura. Este isomorfismo natural es succintly denotado por

$$ \left( Y^X \right)^P \approx Y^{P \times X}$$

Answer 5

El área donde yo estoy acostumbrado a ver las parametrizaciones es la hora de considerar las curvas y similares, los objetos geométricos. Considere la posibilidad de una curva dibujada en $\mathbb{R}^3$, esto es sólo un conjunto de puntos y, en principio, no es una función de cualquier tipo. Pero podemos, de hecho, en la imagen de una función mediante la definición de una asignación de $f:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}^3$ 'huellas' la curva de la variable de entrada va de 0 a 1. Así que en este contexto una parametrización significa tomar un objeto que está a sólo un subconjunto de un espacio determinado y la definición de una asignación cuya imagen es el objeto que nos interesa. El influyente cosa es que la elección de esta asignación es arbirtrary, en la que hay un número infinito de diferentes funciones podríamos definir cuya imagen sería nuestro objeto de estudio. Por lo tanto llamar a una parametrización es realmente lo que indica que hemos elegido una adecuada descripción funcional, pero indica que no es la única.

Este parece ser el mismo que para el ejemplo de la función que le dan, ya que hay cualquier número de maneras de tomar las alturas de los árboles y la definición de las funciones que se asignan a estos correctamente para cada árbol. De modo que su punto y coma notación parece ser simplemente diciendo que esta función ha sido elegido como el uso de la tasa de crecimiento junto con la fija la edad de entrada en el fin de definir la altura, pero es lo que indica que hay otras opciones que usted podría haber hecho en su lugar.