Encontrar de números complejos $x,y,z$ $x^{2007}+y^{2007}+z^{2007}$

Question

Que $x,y,z$ ser números complejos tales que

$$ x + y + z = x ^ {5} + y ^ {5} + z ^ {5} = 0, \hspace{10pt} x ^ 3 + y ^ 3 + z ^ 3 = 2$ $

Encontrar todos los valores posibles de

$$x^{2007}+y^{2007}+z^{2007}$$

Answer 1

$x+y+z$ = 0, entonces las raíces de $x,y,z$ $t^3 + at-b = 0$.

Entonces, podemos demostrar que, $x^5 + y^5 + z^5 = -5ab$ y $x^3 + y^3 + z^3 = 3b$, ya sea usando identidades de Newton o como en mi respuesta aquí: http://math.stackexchange.com/a/115534/1102

Desde $b \ne 0$, debemos contar con que $a = 0$.

Así $x,y,z$ son raíces de $t^3 = b$. Sabemos que $b = \frac{2}{3}$ y así calcular la expresión que necesita fácilmente como $3b^{669} = \dfrac{2^{669}}{3^{668}}$.

Answer 2

Desde $x+y+z=0$,

$$x+y = -z\tag{A}.$$

Si elevamos al poder $3$ ambos lados

$$ x^3+3x^{2}y+3y^{2}x+y^{3} = -z^{3} \quad \Rightarrow \quad x^{3}+y^{3}+z^{3} = -3xy(x+y).$$

Desde $x^{3}+y^{3}+z^{3} =3$,

$$ x^{3}+y^{3}+z^{3} = -3xy(x+y).$$

Podemos concluir por tanto que

$$ xy(x+y) = -1 \tag{B}.$$

Si tomamos el quinto poder $(A)$,

$$ x^5+5x^{4}y+10x^{3}y^{2}+10x^{2}y^{3}+5xy^{4}+y^{5} = -z^{5} $$

$$ x^{5}+y^{5}+z^{5} = -5xy(x^{3}+2x^{2}y+2xy^{2}+y^{3}).$$

Y desde $x^{5}+y^{5}+z^{5}=0$

$$ -5xy(x^{3}+2x^{2}y+2xy^{2}+y^{3}) = 0. $$

Desde $xy \neq 0$,

$$\begin{align*} x^{3}+2x^{2}y+2xy^{2}+y^{3} &= 0\\ x^{3}+y^{3}+2xy(x+y) &= 0. \end{align*} $$

De $(B)$,

$$ x^{3}+y^{3} = 2.$ $ También

$$x^{3}+y^{3}+z^{3} = 1 \quad \Rightarrow \quad z^{3} = 1.$$

Por simetría

$$x^{3}=y^{3}=z^{3} = 1.$$

Por lo tanto

$$x^{2007}+y^{2007}+z^{2007} = 3.$$