Para cada par de eventos A y B, encuentre P(A| B) y P(B| A).

Question

Tengo un problema simple de aquí, pero yo sólo quiero para asegurarse de que no estoy perdiendo un concepto simple.

Pertinentes ecuaciones: $$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)},$$

$$P(A \cap B) = P(A) + P(B) - P(A \cup B)$$

Deje $(S,P)$ ser un espacio muestral con $S = \{1, 2, 3, 4, 5\}$, y,
$P(1) = P(2) = 0.1$
$P(3) = P(4) = 0.2$
$P(5) = 0.4$

Para cada par de eventos $A$$B$, encontramos a$P(A|B)$$P(B|A)$.

un. $A = \{1, 2, 3\}$; $B = \{2, 3, 4\}$

b. $A = \{1, 2, 3\}$; $B = \{4, 5\}$

c. $A = \emptyset$; $B = \{2, 3, 4\}$

d. $A = \{1, 2, 3, 4, 5\}; B = \{4, 5\}$

Si se me pide que encuentre la probabilidad de que uno de estos conjuntos, sólo debo agregar los valores? Es el ejemplo que me iba a multiplicar ; como cuando me estoy encontrando $P(A \cap B)$ comparado $P(A)$ o $P(B)$? Qué necesito para usar la Inclusión-Exclusión?

He aquí lo que he encontrado.

un. $P(A|B) = \frac{0.3}{0.5} = \frac{3}{5}$, $P(B|A) = \frac{0.3}{0.4} = \frac{3}{4}$

b. $P(A|B) = 0$, $P(B|A) = 0$

c. $P(A|B) = 0$, $P(B|A) = undefined$

d. $P(A|B) = \frac{0.3}{0.3} = 1$, $P(B|A) = \frac{0.3}{1} = \frac{3}{5}$

Answer 1

Su enfoque es correcto, ya que son sus respuestas. Sin embargo, sus soluciones en la parte (d) son incorrectos.

Desde $A = \{1, 2, 3, 4, 5\}$ es el espacio de muestra entero, $P(A) = 1$. Desde $P(4) = 0.2$ y $P(5) = 0.4$ y $B = \{4, 5\}$, $P(B) = P(4) + P(5) = 0.2 + 0.4 = 0.6$. Desde $B \subseteq A$, $P(A \cap B) = P(B)$ %. Por lo tanto,\begin{align*} P(A \mid B) & = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{P(B)}{P(B)} = \frac{0.6}{0.6} = 1\\ P(B \mid A) & = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} = \frac{P(B)}{P(A)} = \frac{0.6}{1} = 0.6 \end{align*}