Integración de $\int \frac{\cos x}{\sin x+\cos x}dx$ .

Question

Así que acabo de tener mi primer examen (fue bastante bien) pero me encontré con esta cosa como la primera parte de la última pregunta.

$$\int \frac{\cos x}{\sin x+\cos x}dx$$

He mirado en wolfram después del examen y aconseja multiplicar arriba y abajo por $\sec^3x$ .

¿Hay otra forma de abordar esto si no se conoce ese truco? Me cuesta creer que lo supiera y me resultó desproporcionadamente más difícil que cualquier tipo de pregunta de integración que me haya encontrado al practicar.

No he podido llegar a ninguna parte al intentar resolver esto.

Gracias.

Answer 1

Tenga en cuenta que $\cos x = \frac{1}{2} ( 2 \cos x + \sin x - \sin x)$ . Así que entonces $$ \int \frac{\cos x}{\sin x + \cos x} dx = \frac{1}{2} \int \frac{\cos x - \sin x}{\cos x + \sin x}dx + \frac{1}{2}\int \frac{\cos x + \sin x}{\cos x + \sin x} dx.$$ El segundo es fácil de integrar, y el primero es ahora sólo un $u$ -sustitución ya que el numerador es la derivada del denominador.

Answer 2

Una pista: $\sin(x)+\cos(x)=\sqrt{2}\sin(x+\pi/4)$ Entonces sustituye $u=x+\pi/4$ .

Un enfoque más general sería el siguiente. Sustituir $\cos(x)$ y $\sin(x)$ por la fórmula de Euler.

$$\int \frac{f(\cos(x),\sin(x))}{g(\cos(x),\sin(x))}dx=\int \frac{f(\exp(ix),\exp(-ix))}{g(\exp(ix),\exp(-ix))}dx.$$

Ahora, sustituye $u=\exp(ix) \implies du=iudx$ .

$$\int \frac{f(u,u^{-1})}{g(u,u^{-1})}\frac{du}{iu}=\int \frac{f(u)}{g(u)}\frac{du}{iu}.$$

Si $f$ y $g$ son polinomios simples, la integral resultante siempre se puede resolver por fracciones parciales.

Answer 3

Método 1:- $$\frac{cosx}{cosx+sinx}=\frac{cos(x-π/4 +π/4)}{\sqrt {2}cos(x-π/4)}=\frac{cos(x-π/4)-sin(x-π/4)}{2cos(x-π/4)}$$

Método 2:- Escribe el numerador

$cosx=A(cosx+sinx)+B\frac{d}{dx}(cosx+sinx)$

para encontrar $A$ y $B$ entonces la respuesta será $Ax+Blog|cosx+sinx|+c$

Answer 4

SUGERENCIA:

Para $I=\displaystyle\int\dfrac{a\cos x+b\sin x}{c\cos x+d\sin x}dx,$

escribir $a\cos x+b\sin x=A(c\cos x+d\sin x)+B\cdot\dfrac{d(c\cos x+d\sin x)}{dx}$ donde $A,B$ son constantes arbitrarias para que

$I=\displaystyle A\int\ dx+B\int\dfrac{d(c\cos x+d\sin x)}{c\cos x+d\sin x}$

Compara los coeficientes de $\cos x,\sin x$ para encontrar $A,B$

Answer 5

Dividiendo el numerador y el denominador por $\cos x$ produce

$$\frac{dx}{\tan x+1}$$

Ahora sustituye $x=\tan^{-1}t,dx=\dfrac{dt}{1+t^2}$ para conseguir

$$\int\frac{dt}{(t+1)(t^2+1)}$$

que ahora se puede resolver con fracciones parciales. Similar al otro método pero espero que sea más fácil de ver.