El germen inducido por un polinomio irreducible

Question

Que $P\in\mathbb{C}[z_1,z_2,\ldots,z_n]$ ser un polinomio irreducible. Que $a\in\mathbb{C}^n$ ser tal que el $P(a)=0.$ considerar el germen de funciones holomorphic en el % de punto $a,$por $\mathcal{O}_a.$ tengo la siguiente pregunta:

¿Es el germen inducido por $P$ $a$ irreducible en $\mathcal{O}_a$?

Nota: si es posible por favor sugerir una referencia para entender el problema.

Answer 1

No, considerar $y^2-x^3-x^2 \in \mathbb{C}[x,y]$. Es un polinomio irreducible (por el criterio de Eisenstein), pero no un elemento irreducible de $\mathcal{O}_{(0,0)}$, ya que contamos con $y^2-x^3-x^2 = (y-x \sqrt{1+x})(y+x \sqrt{1+x})$. (Geométricamente, el nos fijamos en la curva $V(y^2=x^3+x^2)$, y la terminación revela sus dos direcciones tangentes en el origen).