Resolver

Question

Resolver $x^3 - x + 1 = 0$, esto no puede hacerse a través de métodos elementales.

Aunque se trata de salir de mis capacidades, me encantaría ver una solución (sólo en forma cerrada).

¡Gracias!

Answer 1

Que $x=u+v$ y tenga en cuenta que $(u+v)^3=3uv(u+v)+(u^3+v^3)$

Esto tiene la forma requerida si $3uv=1$ y $u^3+v^3=-1$

Así $u^3v^3=\frac 1{27}$, y raíces de $u^3, v^3$ $y^2+y+\frac 1{27}=0$

$u,v= \sqrt[3] {\frac {-1\pm \sqrt{1-\frac 4{27}}}2 }$

$x=u+v=\sqrt[3] {\frac {-1+ \sqrt{\frac {23}{27}}}2 }+\sqrt[3] {\frac {-1- \sqrt{\frac {23}{27}}}2 }$

Answer 2

Let $$x=\frac{a}{y}+y$$ then $$y=\frac12 \left (x+\sqrt{x^2-4a} \right )$$

Entonces usted tiene %#% $ #%

Resolver y rebobinar las sustituciones (no el $$1-y-\frac{a}{y}+\left (y+\frac{a}{y}\right )^3 =0\stackrel{\cdot y^3}{\iff} y^6+(3a-1)y^4+y^3+(3a^2-a)y^2+a^3=0\;\stackrel{a=\frac13,z=y^3}{\iff}\; z^2+z+\frac{1}{27}=0$ uno, seguí adelante para ver lo que sería eventualmente). No preste atención a restricciones por lo que tendrás que comprobar cada valor también. Me gustaría saber dónde está mi método no elemental también.

PD: La parte de $a$ es mostrar por qué variante de sustitución de este Vieta funciona.

Answer 3

Hay una forma estándar de resolver este tipo de ecuaciones: el método de Cardano. Mira aquí