Demostrando que $\lim_{h\to 0 } \frac{b^{h}-1}{h} = \ln{b}$

Question

¿Existe una prueba formal de este hecho sin utilizar la regla de L'Hôpital? Estaba pensando en utilizar una prueba de este hecho: $$ \left.\frac{d(e^{x})}{dx}\right|_{x=x_0} = e^{x_0}\lim_{h\to 0} \frac{e^{h}-1}{h} = e^{x_0}\cdot 1=e^{x_0} $$ que tengo que ayudar a probar: $$ \lim_{h\to 0} \frac{b^{h}-1}{h} = \ln{b} $$ ¿Existe una prueba sucinta de este límite? ¿Cómo se demuestra esto de forma rigurosa?

Answer 1

Es fácil ver que $$\lim_{x\to 0}\frac{\log_a(1+x)}{x}=\log_a e$$ Ahora, ponte $y=a^x-1$ . Así que $a^x=1+y$ y luego $$x=\log_a(1+y)$$ Evidentemente, cuando $x\to0$ ; $y\to 0$ así que $$\lim_{x\to 0}\frac{a^x-1}{x}=\lim_{y\to 0}\frac{y}{\log_a(1+y)}=\log_e a$$

Answer 2

$$\lim_{x\to 0} \frac{\log_a(1+x)}{x} = \lim_{x\to 0} \frac{\log_e(1+x)}{x\log_e{a}}=\lim_{x\to0} \frac{\sum_{i=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \frac{x^{n}}{n}}{x\log{a}} =\lim_{x\to 0} \frac{1+\sum_{i=2}^{\infty} (-1)^{n+1} \frac{x^{n}}{n}}{\log{a}} = \frac{1}{\log{a}} = \frac{1}{\frac{\log_a{a}}{\log_{a}{e}}} = \log_{a}{e}$$

Ahora, ponte $y=a^x -1.$ Por lo tanto, $a^x = 1+y$ y $$ x = \log_a(1+y) $$ Como $x\to 0; y\to 0$
Por lo tanto: $$ \lim_{x\to 0}\frac{a^x-1}{x}=\lim_{y\to 0}\frac{y}{\log_a(1+y)}=\log_e a $$

Gracias Babak.

Answer 3

$$\text{ As }b=e^{\ln_eb}, \frac{b^h-1}h=\frac{e^{h\ln b}-1}h=\ln b\frac{e^{h\ln b}-1}{h\ln b }$$

$$\text{As, }\lim_{x\to 0}\frac{e^x-1}x=1,$$ $$\lim_{h\to0}\frac{b^h-1}h=\ln b\lim_{h\to0}\frac{e^{h\ln b}-1}{h\ln b }=\ln b$$

Answer 4

$$\lim_{h\to 0}\frac{b^h - 1}{h}$$

Dejemos que $x = \frac{b^h - 1}{h}$ $$h.x = b^h - 1$$ $$b^h = hx + 1$$

Aplicando $\ln$ ambos lados

$$h\ln{b} = \ln{(hx+1)}$$ $$\ln{b}=\frac{\ln{(h.x+1)}}{h}$$ $$\ln{b}=\frac{\ln{(h.x+1)}}{hx}.x$$ Ahora, cuando $h\to0$ ; $hx\to0$ ; $\frac{\ln{(h.x+1)}}{hx}\to ln(e);x\to \ln(b)$

Por lo tanto, podemos decir

$$\lim_{h\to 0}\frac{b^h - 1}{h} = \ln(b)$$