Siempre es una buena idea para reducir tales manipulaciones a los axiomas de la probabilidad (y, si es necesario, simple álgebra).
Comenzar por señalar que podemos descomponer el espacio muestral $\Omega$ en la unión de cualquier evento y su complemento:
$$\Omega = \{|X-Y| \gt \epsilon\}\ \bigcup\ \{|X-Y| \le \epsilon\}.$$
De esta forma se rompe el caso de $Y \le a$ a dos disjuntos partes,
$$\{Y \le a\} = \left(\{Y \le a\} \cap \{|X-Y| \gt \epsilon\}\right)\ \bigcup\ \left(\{Y \le a\} \cap\{|X-Y| \le \epsilon\}\right).\tag{1}$$
Debido a que estas partes son distintos, sus probabilidades se suman (que es un axioma). Vamos a abordar la evaluación de las probabilidades por separado.
Lado izquierdo
Otro axioma de la relación es que la probabilidad de que un subconjunto de un evento nunca es mayor que la probabilidad de que el evento en sí. Esto nos permite sobreestimar la mano izquierda parte de la $(1)$:
$$\Pr\left(\{Y \le a\} \cap \{|X-Y| \gt \epsilon\}\right)\le \Pr(|X-Y| \gt \epsilon).\tag{2}$$
Esto es intuitivamente claro.
Lado derecho
La mano derecha la parte es debido a la algebraicas hecho de que las desigualdades agregar:
$$Y \le a\text{ and } |X-Y|\le \epsilon\ \text{ implies }\ X= Y + (X-Y) \le a + \epsilon.$$
(Esto es fácilmente deducirse de la desigualdad de triángulo.)
Por lo tanto, el lado derecho de la $(1)$ es un subconjunto de un simple evento $X \le a+\epsilon$. Una vez más, esto da una desigualdad de probabilidades
$$\Pr\left(\{Y \le a\} \cap\{|X-Y| \le \epsilon\}\right) \le \Pr\left(X \le a+\epsilon\right).\tag{3}$$
Intuitivamente, si $Y$ no exceda el $a$ $X$ está dentro de$\epsilon$$Y$, $X$ no puede exceder $a+\epsilon$.
Solución
Tomando las probabilidades en $(1)$ por medio de los resultados $(2)$ $(3)$ rendimientos
$$\Pr(Y \le a) \le \Pr(|X-Y| \gt \epsilon) + \Pr\left(X \le a+\epsilon\right),$$
QED.
Poniendo este resultado en palabras podría ayudar a la intuición:
La posibilidad de $Y \le a$ puede ser mayor que la probabilidad de que $X \le a+\epsilon$ (si $X$ está dentro de$\epsilon$$Y$), además de la posibilidad de que $X$ es de más de $\epsilon$$Y$.
