Es racional la equivalencia de expresiones algebraicas ciclos "transitiva"?

Question

Deje $X$ $k$- esquema, y deje $A$ $B$ ser algebraicas en los ciclos de la $X$ (es decir, irreductible subvariedades). Recordemos que $A$ racionalmente es equivalente a $B$ si hay una secuencia finita de los ciclos de $A_1, \dots, A_n$ $X$ $A_1 = A$ $A_n = B$ tal que para cada una de las $i$, existe un plano de la familia sobre $\mathbb{P}_k^1$ de los ciclos en $X$ interpolando entre $A_i$$A_{i+1}$.

De ello se deduce inmediatamente de la definición anterior que racional equivalencia es transitiva. Sin embargo, yo estoy buscando algo un poco más fuerte: si $A$ $B$ son racionalmente equivalente en los ciclos de la $X$, ¿existe un plano de la familia sobre $\mathbb{P}_k^1$ de los ciclos en $X$ interpolando entre $A$$B$? Esto es equivalente a preguntar si la existencia de una interpolación de la familia es transitivo condición.

Answer 1

Es falso. En $\mathbb{P}^3$, una retorcida cúbico $C$ racionalmente es equivalente a una curva elíptica $E$ contenida en un plano. Pero no hay ningún plano de la familia de la interpolación entre el$C$$E$.

La razón: el correspondiente esquema de Hilbert $H$ tiene dos irreductible componentes, y $C$, $E$ mentira en su interior, por lo que no sola $\mathbb{P}^1$ enlaces. Para ser precisos, el primer componente $H_1$ parametrizes trenzado cúbicas, y el segundo $H_2$ parametrizes "plano cúbicas de la unión un punto". La intersección $H^1 \cap H^2$ corresponde a la singular avión cúbicas con un punto incrustado en el nodo (el nonreduced estructura asoma fuera del plano en el ambiente $\mathbb{P}^3$).

Ver: http://www.uio.no/studier/emner/matnat/math/MAT4230/h10/undervisningsmateriale/Hilbertscheme.pdf