Grupo de teoría de la notación

Question

Lo que hace la notación $(G,.)$ significa en la teoría de grupo? He visto en lugares que $.$ implica que la operación binaria la multiplicación por grupo $G$. Pero entonces, ¿por qué nos muestran un grupo abelian como $(G, +)$? Y lo que es aditivo y multiplicativo notación?

Answer 1

$(G,\cdot)$ indica el par ordenado con la primera entrada el conjunto subyacente $G$ del grupo y la segunda entrada de la ley de composición $\cdot$ del grupo. El par ordenado la notación es muy común en otras partes de las matemáticas, por ejemplo para la métrica de los espacios de $(M,d)$ o espacios topológicos $(X,\tau)$, y así sucesivamente (el patrón general es $(\mathrm{set},\mathrm{structure \ on \ the \ set})$; es útil porque uno no tiene que definir la noción de igualdad para los grupos, espacios métricos y espacios topológicos y así sucesivamente, por separado, como se puede demostrar que dos pares ordenados $(x,y)$ $(x',y')$ son iguales como los sistemas iff $x=x'$$y=y'$. Por lo tanto, dos grupos son iguales iff su conjunto subyacente y su ley de composición son iguales. No obstante, es muy común para denotar el grupo $(G,\cdot)$ $G$ (al igual de las métricas y topológicas de los espacios) si la ley de composición (métrica, la topología) se entiende. También un grupo es , por definición, un par ordenado $(G,\cdot)$ $G$ un conjunto y $\cdot$ una ley de composición en $G$ sujeto al grupo de axiomas (algunas personas dicen que un grupo es un conjunto $G$ ", junto con una ley de composición en $G$", por lo que simplemente significa que $(G,\cdot)$ es un par ordenado).

Aditivo notación se refiere a denotando la ley de composición por $+$ (notación multiplicativa $\cdot$), la unidad de elemento por $0$ (notación multiplicativa $1$) y la inversa de a $x$ $-x$ (notación multiplicativa $x^{-1}$). Como otros han señalado, esto es , por convención, a menudo se realiza cuando la ley de composición es conmutativa.

Answer 2

la notación $(G,.)$ significa que usted tiene un grupo en el que la operación se llama "." Si usted escribe $(G,+)$, el nombre de la operación es $+$. el $.$ $+$ son sólo de nombre para las operaciones.

Answer 3

  "But is there any particular underlying reason? – Artemisia"

No se puede responder aún por encima, pero yo creo que (G,+) es utilizada cuando la ley de composición es conmutativa porque (por ejemplo) de la matriz de la ADICIÓN es conmutativa, pero la MULTIPLICACIÓN de la matriz es no, aunque ambas operaciones sobre matrices asociativas. Este convenio puede haber surgido aquí. Recordar que es probablemente innecesario explicar por QUÉ los convenios son como son en la mayoría de los casos....