Estoy trabajando con un proceso de puntos con una tasa de llegada de eventos de:
$$ \lambda(t) = \mu + \sum\limits_{t_i<t}{\alpha e^{-\beta(t-t_i)}}$$
donde $ t_1,..t_n $ son los tiempos de llegada del evento.
Por lo tanto, la función de probabilidad logarítmica es
$$ - t_n \mu + \frac{\alpha}{\beta} \sum{( e^{-\beta(t_n-t_i)}-1 )} + \sum\limits_{i<j}{\ln(\mu+\alpha e^{-\beta(t_j-t_i)})} $$
Para obtener la estimación de máxima verosimilitud (MLE) necesito maximizar esta función de log-verosimilitud bajo las restricciones de que $\mu, \alpha, \beta > 0$ y $\beta > \alpha$ .
- ¿Es la función de probabilidad logarítmica cóncava? Los parámetros son $\mu, \alpha, \beta$ .
- Si no es así, ¿hay alguna reparametrización que la haga cóncava?
En el código R la probabilidad logarítmica es
l.loglik <- function(params, data, opt=TRUE) {
mu <- params[1]
alpha <- params[2]
beta <- params[3]
t <- sort(data)
r <- rep(0,length(t))
for(i in 2:length(t)) {
r[i] <- exp(-beta*(t[i]-t[i-1]))*(1+r[i-1])
}
loglik <- -tail(t,1)*mu
loglik <- loglik+alpha/beta*sum(exp(-beta*(tail(t,1)-t))-1)
loglik <- loglik+sum(log(mu+alpha*r))
if(!opt) {
return(list(negloglik=-loglik, mu=mu, alpha=alpha, beta=beta, t=t,
r=r))
}
else {
return(loglik)
}
}
