¿Por qué piensa Wolframalpha que esta suma converge?

Question

Busca en la suma:

$$\sum_{n=1}^\infty\tan\left(\frac\pi{2^n}\right)$$

Yo diría que no convergen, porque $n=1$ la tangente $\tan\left(\frac\pi 2\right)$ debe ser indefinido. Pero Wolframlpha dice que la suma converge en algún lugar alrededor de $1.63312×10^{16}$.

¿Qué me falta?

Answer 1

Para números de punto flotante almacenados en IEEE precisión doble formato, el significativo ha $53$ bits de precisión. El bit más significativo está implícito y es siempre uno. Sólo $52$ bits se almacenan realmente.

Desde $1 \le \frac{\pi}{2} < 2$, entre los números representables por IEEE, el número más próximo a $\frac{\pi}{2}$ es $$\left(\frac{\pi}{2}\right)_{fp} \stackrel{def}{=} 2^{-52}\left\lfloor \frac{\pi}{2} \times 2^{52}\right\rfloor$$

Numéricamente, tenemos $$\frac{\pi}{2} - \left(\frac{\pi}{2}\right)_{fp} \approx 6.1232339957\times 10^{-17}$$

Ya que para $\theta \approx \frac{\pi}{2}$, $\displaystyle\;\tan\theta \approx \frac{1}{\frac{\pi}{2} - \theta}$, tenemos

$$\tan\left(\frac{\pi}{2}\right)_{fp} \approx \frac{1}{6.1232339957\times 10^{-17}} \aprox 1.6331239353 \times 10^{16}$$

Esto es aproximadamente el número que usted observó.

Answer 2

Posible explicación: Wolfram Alpha se aplica algún test de convergencia y dice "convergente". Pero como no sabe cualquier forma cerrada, hace una aproximación numérica.

EDICIÓN: interesante fenómeno: https://www.wolframalpha.com/input/?i=sum _(n%3D1)%5E7000+tan(pi%2F2%5En). Prueba y esperar un poco.

Answer 3

Informática

tan(pi/2)

con Python o Matlab cede $1.633123935319537\mathrm{e}{+}16$. Por lo tanto, esto es sólo un resultado del redondeo de errores (el resto de los términos en la suma es muy pequeña).