Torsión del grupo de homología

Question

¿Si $U$ es un subconjunto abierto conectado de $\mathbb{R}^n$ donde $n\ge 2$, es verdad que $H_1(U,\mathbb{Z})$ es torsión libre? ¿O en general, $H_i(U)$ es gratis? Me refiero si tiene deformación retraer a algunos agradable múltiple en $\mathbb{R}^n$. ¿También si el primer grupo de homología de un surface(2-dim) compacto cerrado tiene torsión, es cierto que $M$ es nonorientable? Me refiero a si puedo usar triangulación de $M$.

Gracias.

Answer 1

Para la primera pregunta, la respuesta es negativa. Por ejemplo, supongamos $U$ ser el tubular barrio de $\mathbb{RP}^2$ en $\mathbb{R}^4$. $U$ la deformación se retrae a $\mathbb{RP}^2$ y por lo tanto su primer homología es $\mathbb{Z}_2$. Para la segunda, la respuesta es sí. Por el universal coeficiente teorema de $$\begin{eqnarray}H^2(M, \mathbb{Z})\cong\text{Hom}(H_2(M, \mathbb{Z}), \mathbb{Z})\oplus\text{Ext}(H_1(M, \mathbb{Z}), \mathbb{Z})\end{eqnarray}$$ Si $H_1$ ha de torsión, por lo que no $H^2$. Pero para compact (conectado) orientada a superficies, su parte superior cohomology es $\mathbb{Z}$ generado por el volumen de la forma".

Edit: La clasificación de los compactos conectado superficies nos dice que deben ser de la esfera o conectado suma de tori. La primera de homología de las superficies puede ser visto fácilmente a ser de torsiones.

Answer 2

Para agregar a la primera respuesta, $H_1(X,\mathbb{Z})$ es abelianization de $\pi_1(X)$, el grupo fundamental, y a menudo será el caso de que el grupo fundamental finito. El ejemplo más fácil como demostrado en la respuesta de Fok son los espacios proyectivos.