¿Cómo probar esta curiosidad que tiene que ver con cubos de ciertos números?

Question

Vi en facebook una imagen en la que estas identidades que voy a escribir a continuación están etiquetados como "increíble matemáticas de hecho" y en la imagen no son estas identidades:

$1^3+5^3+3^3=153$

$16^3+50^3+33^3=165033$

$166^3+500^3+333^3=166500333$

$1666^3+5000^3+3333^3=166650003333$

y luego está escrito bajo estas identidades ", y así sucesivamente y en y en y en!", lo que sugiere que por cada $k \in \mathbb N$, se debería tener

$(1 \cdot 10^k + \sum_{i=0}^{k-1} 6 \cdot 10^i)^3 + (5 \cdot 10^k)^3 + (\sum_{i=0}^{k} 3 \cdot 10^i)^3=16...650...03...3$

(en el lado derecho de la citada identidad el número de veces que el número de $6$ se muestra arriba es $k-1$, el número de veces que el número de $0$ se muestra arriba es $k-1$ y el número de veces que el número de $3$ se muestra arriba es $k$)

Este problema parece atacable con la inducción matemática, pero me gustaría ver cómo podría ser probado sin el uso de la inducción matemática en cualquier etapa(s) de la prueba.

Answer 1

Considere los tres $n$-números de dos dígitos \begin{align} a &= 16\ldots6 = \tfrac16 (10^n - 4), \\ b &= 50\ldots0 = \tfrac12 10^n, \\ c &= 33\ldots3 = \tfrac13 (10^n - 1). \\ \end{align}

Entonces \begin{align} a^3 + b^3 + c^3 &= \frac{1}{6^3} (10^n - 4)^3 + \frac{1}{2^3} (10^n)^3 + \frac{1}{3^3} (10^n - 1)^3. \end{align} Trabajando fuera de los términos principales en el lado derecho,

\begin{align} \frac{1}{6^3} (10^n - 4)^3 &= \frac1{6^3}(10^{3n} - 3\cdot4\cdot 10^{2n} + 3\cdot4^2\cdot 10^n - 4^3) \\ &= \frac{1}{216}10^{3n} - \frac{1}{18}10^{2n} + \frac{2}{9}10^n - \frac{8}{27}, \\[.7ex] \frac{1}{3^3} (10^n - 1)^3 &= \frac1{3^3}(10^{3n} - 3\cdot 10^{2n} + 3\cdot 10^n - 1) \\ &= \frac{1}{27}10^{3n} - \frac{1}{9}10^{2n} + \frac{1}{9}10^n - \frac{1}{27}, \\[.7ex] \frac{1}{6^3} (10^n - 4)^3 + \frac{1}{3^3} (10^n - 1)^3 &= \left(\frac{1}{216} + \frac{1}{27}\right)10^{3n} - \left(\frac{1}{18} + \frac{1}{9}\right)10^{2n} \\ & \qquad + \left(\frac{2}{9} + \frac{1}{9}\right)10^n - \left(\frac{8}{27} + \frac{1}{27}\right) \\ &= \frac{1}{24} 10^{3n} - \frac{1}{6} 10^{2n} + \frac{1}{3}10^n - \frac{1}{3}, \\[.7ex] \frac{1}{2^3} (10^n)^3 &= \frac{1}{8} 10^{3n}. \end{align}

Entonces, desde el $\frac{1}{24} + \frac{1}{8} = \frac{1}{6}$, \begin{align} a^3 + b^3 + c^3 &= \frac1{6^3} (10^n - 4)^3 + \frac1{2^3} (10^n)^3 + \frac1{3^3} (10^n - 1)^3 \\ &= \frac16 10^{3n} - \frac16 10^{2n} + \frac13 10^n - \frac13. \end{align} Pero $$\frac16 10^{3n} = \overbrace{16\ldots6}^{\text{$3n$ dígitos}}.666\ldots.$$ Restar $$\frac16 10^{2n} = \overbrace{16\ldots6}^{\text{$2n$ dígitos}}.666\ldots$$ y el resultado es $$\frac16 10^{3n} - \frac16 10^{2n} = \overbrace{16\ldots6}^{\text{$n$ dígitos}}\overbrace{50\ldots0}^{\text{$2n$ dígitos}}.$$

Continuando, \begin{align} \frac13 10^n &= \overbrace{33\ldots3}^{\text{%#%#% digits}}.333\ldots, \\ \frac13 &= \phantom{33\ldots{}}0.333\ldots, \\ \frac13 10^n - \frac13 &= \overbrace{33\ldots3}^{\text{%#%#% digits}}, \\ \frac16 10^{3n} - \frac16 10^{2n} + \frac13 10^n - \frac13 &= \overbrace{16\ldots6}^{\text{%#%#% digits}}\overbrace{50\ldots000\ldots0}^{\text{%#%#% digits}} \\ & \phantom{=} + \phantom{6\ldots650\ldots0} \overbrace{33\ldots3}^{\text{%#%#% digits}} \\[1ex] &= \overbrace{16\ldots6}^{\text{%#%#% digits}}\overbrace{50\ldots0}^{\text{%#%#% digits}}\overbrace{33\ldots3}^{\text{%#%#% digits}}. \end{align}