Comparación de profundidad en secuencias exactas cortas

Question

Sea$R$ un anillo Noetherian y$M,N,U$ be$R$ - modules. Tenemos una secuencia exacta corta

ps

Lo sabemos $$0 \longrightarrow U \longrightarrow M \longrightarrow N \longrightarrow 0.$.

Supongamos que$\operatorname{depth}(U) \geq \min \{\operatorname{depth}(M),\operatorname{depth}(N)+1\}$.

¿Puedo decir que$\operatorname{depth}(M)=\operatorname{depth}(N)$?

Answer 1

No. Siempre tenemos$"\ge"$, pero sucede que tenemos$">"$ como muestra el siguiente ejemplo.

Establezca$R=K[X]_{(X)}$ y considere la secuencia exacta corta de$R$ - modules$$0\to R\to K\oplus R\to K\to 0.$ $