Permita que$L(x)=\int_1^x \frac1t dt$ pruebe que$L(xy)=L(x)+L(y),\quad x,y>0$ y algunos otros problemas similares. (Sin utilizar logaritmos)

Question

Estoy buscando el siguiente problema:

Deje $L:(0,\infty)\rightarrow\mathbb{R}$ ser definido por $$L(x)=\int_1^x\frac1t dt, \qquad x>0$$

a) Demostrar: $L$ estrictamente creciente y derivable en a $(0,\infty)$.

b) Mostrar que el $L(2)>0$

c) Demostrar que $L(xy)=L(x)+L(y),\quad x,y>0$

d) Mostrar que para $n\in \mathbb{Z}$, $L(2^n)=nL(2)$

e) Demostrar que $L(x)$ es tanto inyectiva y surjective.

Ahora, a y b son bastante simples (voy a incluir), pero a partir de c estoy teniendo algunos problemas graves. Sería fácil señalar que $L(x)$ es la función logarítmica, así que todas estas cosas, pero ya no hemos hablado de los logaritmos en clase, supongo que este ejercicio está construido para derivar algunas de sus propiedades.

Mi trabajo:

a) Nota de cómo $\frac 1t$ es continua en a $(0,\infty)$; se sigue inmediatamente que $L(x)$ es diferenciable y $L'(x)=1/x$. Tenga en cuenta también cómo $1/x>0$ todos los $x>0$. Debido a esto, $L(x)$ es estrictamente creciente.

b) Considere la posibilidad de $L(1)=\int_1^1\frac1t dt=0$. (Teorema Fundamental del cálculo) Desde $L(x)$ es estrictamente creciente, $L(2)>L(1)=0$.

c) No han dado resultados significativos, como no quiero usar el logaritmo de este.

d) Deje $n\geq 0$, luego de esto se sigue inmediatamente de c). Para $n<0$ he probado a jugar con el teorema fundamental del cálculo, pero no llegar a ningún resultado significativo.

e) Nota de cómo $L(x)$ es estrictamente creciente y por lo tanto inyectiva. Para demostrar que $L(x)$ está en a, tenemos que tomar una arbitraria $y\in\mathbb{R}$ y muestran que $L(x)=y$ algunos $x\in (0,\infty)$. Yo de manera intuitiva se puede ver cómo esto podría ser el caso y que, probablemente, podría ser probado sin el uso de logaritmos, pero es difícil llegar a cualquier tipo de argumento formal.

Ahora estoy muy curioso por saber si estos pueden ser probados sin hacer uso de los logaritmos, y si es así, cuáles son sus pruebas aspecto.

Answer 1

C) \begin{align*}L(xy)&=\int_1^{xy}\frac1t\,dt\\&=\int_1^x\frac1t\,dt+\int_x^{xy}\frac1t\,dt\end {align *} y así todo lo que tienes que probar es que$\int_x^{xy}\frac1t\,dt=\int_1^y\frac1t\,dt$. Puede hacerlo haciendo la sustitución$t=xu$ y$dt=x\,du$

D) Si$n<0$, entonces$L(2^n2^{-n})=L(1)=0$ y$L(2^n2^{-n})=L(2^n)+L(2^{-n})=L(2^n)+(-n)L(2)$. Y$L(2^n)+(-n)L(2)=0\Longleftrightarrow L(2^n)=nL(2)$.

E) Tome$y\in[0,+\infty)$. Seleccione$n\in\mathbb N$ tal que$nL(2)>y\Longleftrightarrow L(2^n)>y$. Entonces, por el teorema del valor intermedio, hay$x\in[1,2^n]$ tal que$L(x)=y$.

Por otro lado, si$y\in(-\infty,0]$,$-y=L(x)$ para algunos$x$ y por lo tanto$y=-L(x)=L\left(\frac1x\right)$.

Answer 2

Vamos$g(x):=f(xy)$ y diferenciamos con respecto a$x$. Llega a$$g^\prime(x) = f^\prime(xy) y = \frac{1}{xy}y=\frac{1}{x}$ $ So$f$ y$g$ satisfacen la misma ecuación diferencial como una función de$x$. Esto implica la diferencia por un$c(y)$ constante que depende sólo de$y$. Asi que

$$c(y) = \int_1^{xy}\frac{1}{t}dt-\int_1^{x}\frac{1}{t}dt =\int_x^{xy}\frac{1}{t}dt$ $ No aplicar el cambio del teorema de variables para mostrar que$c(y)= L(y)$

Answer 3

¿Qué hay de cambiar la variable de integración en$L(y)$ by$t' = xt$? Parece$$ L(y) = \int_{x}^{xy} \frac{x}{t'} \frac{dt'}{x} = \int_{x}^{xy} \frac{1}{t'} dt'$ $ y que esto da$L(xy) = L(x) + L(y)$ sin usar logaritmos.