Números de Salem, raíces en el círculo de la unidad

Question

Hay algebraica de números enteros que no son las raíces de la unidad , por ejemplo consideremos el polinomio irreducible $ P(x)= x^4-2x^3-2x+1 $.

Un equipo de software puede mostrar que este polinomio tiene dos raíces reales fuera del círculo unidad(uno más uno y el otro menos de uno) y dos raíces en el círculo unidad. Sin embargo no sé cómo probar esto rigurosamente que hay dos raíces en el círculo unidad.

Por lo general, cuando quería probar algunos de raíz de un polinomio es en el círculo unidad , me gustaría que se multiplican por algún otro polinomio para conseguir algo de la forma $ x^n - 1 $ y es obvio que cada raíz de tal expresión tiene una norma, sin embargo , en este caso esto no es posible, ya que ninguna de las raíces de $ P(x) =0 $ son raíces de la unidad.

En realidad hay un montón de ejemplos, llamado Salem números. Es un entero algebraico $\lambda > 1$ de manera tal que todos los de su Galois conjugados están en el círculo unidad, excepto $\frac{1}{\lambda}$. El polinomio dado anteriormente es un ejemplo de un polinomio mínimo de a Salem número.

¿Alguien tiene alguna idea de cómo puedo probar esto, es decir, las raíces están en el círculo unidad, excepto dos de ellos?(Estoy buscando un método que puede ser aplicado a más de un ejemplo, espero que muchos de Salem números)

Answer 1

Factor del polinomio sobre $\mathbb{Q}(\sqrt{3})$ para obtener

$$(x^2+\alpha x + 1)(x^2 + \overline{\alpha} x + 1)$$

con $\alpha = -1+\sqrt{3}$$\overline{\alpha} = -1 - \sqrt{3}$. Vamos a dar a estos polinomios nombres:$p = x^2 + \alpha x + 1$$q = x^2 + \overline{\alpha} x + 1$. Yo afirmación de que las raíces de $p$ están en el círculo unidad y las raíces de $q$ no lo son.

Nótese en primer lugar que el discriminante de $p$ es negativo. Por lo tanto, $p$ tiene dos raíces complejas, y desde $p$ tiene coeficientes reales, estas raíces son complejos conjugados de cada uno de los otros. El término constante de $p$ es el producto de estas raíces, por lo tanto, encontramos que el producto de cada raíz con su complejo conjugado es 1. En otras palabras, cada raíz se encuentra en el círculo unidad.

Por otro lado, debido a que el discriminante de $q$ es positivo tiene dos raíces reales. Para un número real para estar en el círculo unidad, debe ser $1$ o $-1$, y vemos de inmediato que ninguna de estas es una raíz de $q$. Por lo tanto, las raíces de $q$ no se acueste sobre el círculo unidad.

Esto apunta hacia una forma de generar un montón de cuártica ejemplos. La construcción de un real cuadrática campo. Identificar dos cuadrática extensiones de la misma, uno real y uno complejo, generado por las raíces de los polinomios de la forma $x^2 + \beta x + 1$ $x^2 + \overline{\beta} x + 1$ donde $\beta$ es un entero algebraico en el cuadrática campo, $\overline{\beta}$ es su algebraicas conjugado, un polinomio tiene discriminante negativo y el otro positivo. El producto de los polinomios es una de Salem polinomio.

Answer 2

Esta es una respuesta que mi amigo propuso: parametrizar el círculo de unidad por$e^{i \theta}$ , para obtener una ecuación en términos del parámetro real$\theta$, es decir$|P(e^{i \theta})|^2 = 0$. Esto puede ser examinado rigurosamente para tener raíces reales utilizando el teorema del valor intermedio .