¿Cuándo es cerrada la unión de infinitos conjuntos cerrados?

Question

Se sabe que, en general, la unión de infinitos conjuntos cerrados no tiene por qué ser cerrada . Sin embargo, en el siguiente caso, aparentemente, la unión está cerrada:

Supongamos que existe un gran polígono cerrado $C$ , dentro del cual hay un cuadrado $S$ (verde). Consideremos el conjunto de todos los objetos convexos cerrados que contienen $S$ y están contenidas en $C$ . Entonces, aparentemente, la unión de todos estos objetos cerrados es cerrada.

Mis preguntas:

• ¿Es cierta la afirmación anterior y, en caso afirmativo, cómo se puede demostrar?
• En general, ¿cuáles son las condiciones para que un conjunto infinito de conjuntos cerrados sea cerrado, especialmente en $\mathbb{R}^2$ ?

Answer 1

La afirmación es cierta. Sea $A$ sea el conjunto que se define y que queremos demostrar que es cerrado.

Un punto $x$ pertenece a $A$ si y sólo si el casco convexo de $S \cup \{x\}$ está contenida en $C$ . (En ese caso, su cierre también está contenido en $C$ .) Este casco convexo está formado a su vez por la unión $B_x$ de todos los segmentos que se unen $x$ a un punto en $S$ .

$B_x$ es convexo porque si $xz_1 z_2$ es un triángulo con $z_1, z_2 \in S$ y los puntos $y_1$ y $y_2$ tumbarse a los lados $xz_1$ y $xz_2$ respectivamente, entonces para cualquier punto $w$ en el segmento $y_1 y_2$ el rayo $xw$ se encuentra con el lado $z_1 z_2$ que está contenido en el conjunto convexo $S$ .

Así, un punto $x$ pertenece a $A$ si y sólo si el segmento $xz$ está contenida en $C$ para cada punto $z$ en $S$ . Por lo tanto, $A$ es la intersección, para todo $z \in S$ del conjunto $C_z$ que es la unión de todos los segmentos con un punto final en $z$ que se encuentran en $C$ . Por lo tanto, sólo tenemos que demostrar que $C_z$ está cerrado.

Después de una traducción, podemos suponer $z = 0$ . El conjunto $C_0$ es la intersección de los conjuntos $(1/t)C$ para todos $t \in (0,1]$ y todos los conjuntos $(1/t)C$ están obviamente cerradas.

Answer 2

(0). La barra de cierre denota el cierre en $\mathbb R^2.$

(1). Ejercicio: Si $Y$ es un subconjunto convexo acotado y cerrado de $\mathbb R^2$ y $x\in \mathbb R^2$ entonces el casco convexo de $\{x\}\cup Y$ está cerrado.

(2). Sea $A$ sea la familia de subconjuntos convexos cerrados de $C$ que tienen $S$ como subconjunto. Sea D el conjunto de $p\in C$ tal que el casco convexo de $\{p\}\cup S$ no es un subconjunto de $C.$ Tenemos $(\cup A )\cap D=\phi$ así que $$\cup A\subset C \backslash D.$$ Tome cualquier $p\in D.$ Existe $q\in S$ tal que el segmento de línea que une $p$ a $q$ contiene un punto $r\not \in C.$ Coge un balón abierto $B(r,d)$ de radio $d>0$ centrado en $r$ , de tal manera que $B(r,d)\cap C=\phi.$ Si $s>0$ y $s$ es suficientemente pequeño, entonces para cualquier $p'\in C\cap B(p,s),$ el segmento de línea de $p'$ a $q$ se cruzará con $B(r,d).$ Así que $B(p,s)\cap C\subset D.$

Así que $D$ está abierto en el espacio $C.$

Por lo tanto, $C$ \ $D$ está cerrado en el espacio $ C.$ Y $C=\overline C$ por lo que tenemos $$C \backslash D =\overline {C \backslash D}.$$ Pero para cualquier $x\in C$ \ $D$ el casco convexo de $\{x\}\cup S $ es cerrado, y es un subconjunto de $C$ . Por lo tanto, $$C\backslash D\subset \cup A.$$

Ahora tenemos $\cup A\subset C \backslash D \subset \cup A,$ así que $$\overline {\cup A}=\overline {C\backslash D}=C\backslash D=\cup A.$$