Determinante de una fluctuación acoplada Lagrangiana

Question

Vamos a considerar un bosonic sistema físico en las variables de $t, x$ y $y(x)$ ($x$ dependiente) con un clásico de Lagrange $L$. A primer orden en las fluctuaciones $x \to x+\xi_1$ $y \to y+\xi_2$ el fluctuado acción de lee

$$S_{fl}=\int dt dx \sqrt{g} ~{\vec \xi}^T~{\tilde O}~{\vec \xi}$$

Donde el diferencial de operador ${\tilde O}$ está dado por

$${\tilde O}=\begin{pmatrix} \nabla^2+M_1(x) & -\frac{1}{\sqrt{g}}\partial_x +M_{12} \\ \frac{1}{\sqrt{g}}\partial_x +M_{12} & \nabla^2+M_2(x) \end{pmatrix}$$

Siguiendo el procedimiento estándar, uno tiene que calcular la funcional determinante de ${\tilde O}$ para obtener la efectiva acción de las fluctuaciones. Ahora, dado que el sistema está acoplado (fuera de la diagonal elementos están presentes), el cálculo de $\det[{\tilde O}]$ va a ser bastante difícil, si no imposible:

$$\det a[{\tilde O}]=\det\begin{pmatrix} \nabla^2+M_1(x) & -\frac{1}{\sqrt{g}}\partial_x +M_{12} \\ \frac{1}{\sqrt{g}}\partial_x +M_{12} & \nabla^2+M_2(x) \end{pmatrix}\\=\det\left(\left(\nabla^2+M_1(x)\right)\left(\nabla^2+M_2(x) \right)-\left(-\frac{1}{\sqrt{g}}\partial_x +M_{12}\right)\left(\frac{1}{\sqrt{g}}\partial_x +M_{12}\right)\right)$$

Sin embargo, formalmente, antes de intentar calcular el determinante, se puede multiplicar todos los términos en la fluctuación de Lagrange $L_{fl}={\vec \xi}^T~{\tilde O}~{\vec \xi}$, parcialmente integrar una vez en la diagonal términos y reorganizar los campos $\xi_1 \xi_2$ de manera tal que si uno pone todos los términos de vuelta en notación matricial, se encuentra:

$$S_{fl}=\int dt dx \sqrt{g} ~{\vec \xi}^T~{\tilde O}~'~{\vec \xi}$$

donde ahora

$${\tilde O}~'=\begin{pmatrix} \nabla^2+M_1(x) & 0 \\ \frac{2}{\sqrt{g}}\partial_x +2M_{12} & \nabla^2+M_2(x) \end{pmatrix}$$

Si se procede a calcular el determinante de ahora:

$$\det[{\tilde O}~']=\det\left(\left(\nabla^2+M_1(x)\right)\left(\nabla^2+M_2(x) \right)\right)\\=\det\left(\nabla^2+M_1(x)\right)\det\left(\nabla^2+M_2(x) \right)$$

uno encuentra una forma mucho más simple problema a resolver. Ahora mi pregunta es esta "simplificación" de hecho se permite, o no me pierda algo de sutileza que prohíbe a un reordenamiento de bosonic campos en el Lagrangiano de nivel?

Answer 1

Le pregunté a mi profesor y en un debate que surgió con la siguiente.

El proceso de establecimiento de la acción efectiva de un la fluctuación de Lagrange para consistir en el funcional determinante de la diferencia inicial operadores implicados, se basa en la igualdad:

$$\det(A)=e^{Tr(\log(A))}$$

para una matriz de $A$, lo cual sólo es cierto para diagonalizable las matrices. Un genérico de la matriz del tipo

$$B=\begin{pmatrix} b_{11} & 0 \\ b_{21} & b_{22} \end{pmatrix}$$

no se puede diagonalized y por lo tanto el procedimiento no se cumple para este tipo de matrices.

Uno debe elegir siempre un diagonalizable la matriz de estructura para los operadores diferenciales para ser capaz de aplicar la QFT maquinaria.

EDITAR

Debido a las preguntas en los comentarios me decidí a mencionar uno de los más idea que prohíbe las matrices de $B$ como se indica más arriba. Recordar los conceptos básicos de QFT en un entramado de datos discretos. Generalmente la siguiente relación se encuentra por la real campos escalares (uso de ellos como ejemplo) por evaluación explícita de Gauss integrales:

$$\int D\varphi ~e^{-\frac{1}{2}\varphi_i A_{ij}\varphi_j}=\frac{1}{\sqrt{\det A}}$$

Ahora, recuerde por qué involucrar a la notación $\det A$ y no algún otro símbolo en el resultado. Se deriva del hecho de que reconocemos por la inspección, que el resultado es exactamente el determinante de una simétrica matriz $A$. Desde el Gaussiano integrales son evaluadas por separado, en los componentes, incluso es inevitable que si usamos

$$B=\begin{pmatrix} b_{11} & 0 \\ b_{21} & b_{22} \end{pmatrix}$$

como nuestra matriz, el resultado vendrá a ser $1/\sqrt{\det B'}$ con

$A$B'= $$\begin{pmatrix} b_{11} & \frac{1}{2}b_{21} \\ \frac{1}{2}b_{21} & b_{22} \end{pmatrix}$$ $$

Por lo tanto, si queremos omitir la parte de explícitamente la evaluación de Gauss integrales y proceder directamente a evaluar un determinante, tenemos que ser cuidadosos para involucrar a una matriz de como es en realidad surge de la formalismo, es decir, simétrica.

Esperamos que este argumento diferente ayuda.