Automorfismos de Anillo y Raíces de Polinomios Mónicos

Question

Tengo el siguiente problema:

Sea$R$ un anillo conmutativo con identidad y$\phi: R \rightarrow R$ un automorfismo de anillo. Si$F=\lbrace r\in R | \phi(r)=r \rbrace$, muestra que$\phi^2$ es el mapa de identidad implica que cada elemento de$R$ es la raíz de un polinomio monic de grado dos en$F[x]$.

He intentado construir el polinomio explícitamente, pero no he tenido suerte. He considerado intentar usar un argumento utilizando índices, pero no estoy seguro de cómo hacerlo.

Answer 1

Permitir$r\in R$ y considerar$a=r+\phi(r)$ y$b=r\phi(r)$. Luego$a,b\in F$ y puede recuperar$r$ de$a$ y$b$ resolviendo una ecuación cuadrática. Más precisamente,$r$ es una raíz de$x^2-ax+b=0$.

Observe cómo$a,b\in F$ sigue a$\phi$ siendo un automorphism involutivo del anillo.

De forma más general, si$\phi^n$ es la identidad, entonces cada elemento$r\in R$ es la raíz de un polinomio monic de grado$n$ over$F$:$(x-r)(x-\phi(r))\cdots(x-\phi^{n-1}(r))$.