Encuentre el valor mínimo de$a^2+b^2$

Question

Sea a y b los números reales para los cuales la ecuación $ x ^ 4 ax ^ 3 bx ^ 2 ax 1 = 0 \ tag1$ has at least one real solution. For all such pairs $ (a, b) B ^ 2 $.

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Usando$, find the minimum value of $ in (1):$x + \frac 1 x = y$ por lo tanto la primera condición es$y^2 + ay+b-2=0 \tag2$.

El segundo, procedente de$a^2 - 4b + 8\ge 0$, es$x^2 -yx + 1=0$.

El cálculo es un desastre, así que no creo que esta sea la manera de resolverlo. ¿Alguien tiene una idea más inteligente?

ACTUALIZACIÓN He corregido (2) la siguiente sugerencia de @mathlove.

Answer 1

Edit : yo debería haber añadido una condición que $|-a/2|\ge 2$.

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Creo que tu idea es buena, pero tenga en cuenta que $(2)$ es incorrecta. El uso de $x+\frac 1x=y$, tenemos $$y^2+ay+b\color{red}{-2}=0\tag3$$

Así, tenemos que tener $$a^2-4(b-2)\ge 0\iff b\le \frac{a^2}{4}+2\tag4$$

Queremos $(3)$ a tiene al menos una solución real $y$ tal que $|y|\ge 2$ como lo escribió.

Deje $f(y):=y^2+ay+b-2$. La condición se representa como $$\left|-\frac a2\right|\ge 2\quad\text{or}\quad f(-2)\le 0\quad\text{or}\quad f(2)\le 0$$$$\iff |a|\ge 4\quad\text{o}\quad 2-2a+b\le 0\quad\text{o}\quad 2+2a+b\le 0\tag5$$

Por lo tanto, el dibujo de $(4)(5)$ $ab$- plano da que el valor mínimo de $a^2+b^2$ es $$\left(\frac{|2\pm 2\cdot 0+0|}{\sqrt{(\pm 2)^2+1^2}}\right)^2=\color{red}{\frac 45}$$ (tenga en cuenta que $a^2+b^2$ representa el cuadrado de la distancia de$(0,0)$$(a,b)$)

para $(a,b)$ tal que $a^2+b^2=\frac 45$$b=\pm 2a-2$, es decir,$(a,b)=(\pm 4/5,-2/5)$.

Answer 2

Dividir la ecuación por $x^2$ $$ \begin{align} 0 &=x^2+ax+b+\frac ax+\frac1{x^2}\\ &=\left(x+\frac1x\right)^2+a\left(x+\frac1x\right)+(b-2)\tag{1} \end{align} $$ Desde $\left|\,x+\frac1x\,\right|\ge2$, y que las soluciones a $(1)$ $$ x+\frac1x=\frac {- \pm\sqrt{a^2-4b+8}}2\etiqueta{2} $$ y puesto que el signo de $a$ no cambio $a^2+b^2$, y sólo cambia el signo de $x$, podemos asumir que $a\ge0$. Entonces necesitamos $$ a+\sqrt{a^2-4b+8}\ge4\etiqueta{3} $$ Desde $a=1$ $b=0$ satisfacer $(3)$, el mínimo de $a^2+b^2$ es en la mayoría de las $1$. Por lo tanto, podemos asumir que $a\le1$$b\ge-1$. A continuación, $(3)$ se convierte en $$ a^2-4b+8\ge16-8a+a^2\ffi\ge\frac{b+2}2\etiqueta{4} $$ Por lo tanto, $$ a^2+b^2\ge\left(\frac{b+2}2\right)^2+b^2\ge\frac45\etiqueta{5} $$ Desde $a=\frac45$ $b=-\frac25$ satisface $(3)$$a^2+b^2=\frac45$, obtenemos $$ \min\!\a la izquierda(a^2+b^2\right)=\frac45\etiqueta{6} $$