Cambiando ligeramente la definición formal de continuidad de$f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$?

Question

Tengo curiosidad por algunas perspectivas acerca de por qué sería incorrecto para cambiar la definición de continuidad de $f: \Bbb R \to \Bbb R$, de la siguiente manera:

Definición Original. $f : \Bbb R \to \Bbb R$ se dice continua en $x \in \Bbb R$ si $\forall \epsilon > 0$ $\exists \delta > 0$ tal que $|x - a| < \delta \implies |f(x) - f(a)| < \epsilon$.

Definición alterada. $f : \Bbb R \to \Bbb R$ se dice continua en $x \in \Bbb R$ si $\forall \delta > 0$ $\exists \epsilon > 0$ tal que $|x - a| < \delta \implies |f(x) - f(a)| < \epsilon$.

La alteración de la definición está más en línea con lo que pienso cuando pienso acerca de la continuidad de forma intuitiva: cerca de los puntos son enviados a puntos cercanos. Sólo tiene sentido para mí ser capaz de elegir la "proximidad" en el dominio (es decir, $\forall \delta > 0$) y mostrar que hay cercanía en el codominio (es decir, $\exists \epsilon > 0$) para demostrar de manera intuitiva que "cerca de los puntos son enviados a puntos cercanos".

Del mismo modo, si $X, Y$ son espacios topológicos, podemos decir $f: X \to Y$ es continua si la preimages de abrir los conjuntos son abiertos. Lo que sería equivocado acerca de la modificación de la definición de decir que un mapa es continua si las imágenes de abrir los conjuntos son abiertos (es decir, $f$ es continua si es un mapa)? Esto está más en línea con la idea intuitiva de "cerca de lugares de ser enviado a cerca de los puntos" -- elegir la cercanía en el dominio (es decir, cualquier conjunto abierto) un espectáculo de cercanía en el codominio (es decir, la imagen es abierto).

¿Alguien tiene alguna útiles comentarios?

Answer 1

Su confusión parece mentira en el intento de traducir la frase "si dos puntos están cerca, a continuación, sus imágenes en $f$ se cierre" en una formal enunciado matemático. Desde que la sentencia menciona los puntos en el dominio de la primera, parece que éste es el enunciado matemático que también debe "empezar en el dominio".

Me gustaría sugerir que un mayor brillo en el sentido de la continuidad es "si dos puntos están cerca de lo suficiente, entonces sus imágenes en $f$ están cerca". Esto es debido a que para una función continua como $f(x) = 100x$, los puntos tienen que estar mucho más cerca en el dominio de garantizar un nivel de cercanía en el rango. Es decir, para garantizar que $|f(x) - f(y)| < \frac{1}{2}$, debemos tener $|x-y| < \frac{1}{200}$.

Ahora a traducir. El problema es que "cerca" es una palabra imprecisa. Formalmente, cuando decimos "cerrar", es necesario especificar qué tan cerca. Así que vamos a cambiar la primera instancia de "cerrar" a "$\delta$-cerrar" y se expresa en $|x-y|<\delta$ y cambiar la segunda instancia de "cerrar" a "$\epsilon$-cerrar" y se expresa en $|f(x) - f(y)|<\epsilon$. Entonces la oración se convierte en $$|x-y|<\delta \implies |f(x) - f(y)|<\epsilon.$$

Pero no queremos que la definición de continuidad a depender de $\delta$ $\epsilon$ - queremos cuantificar. Cómo cierre debe $f(x)$$f(y)$? Así, tan cerca como queramos. Así que tenemos que cuantificar sobre todas las $\epsilon > 0$. Cómo cierre debe $x$$y$? Bueno, lo suficientemente cerca: lo más cerca que necesitan para satisfacer la conclusión de $|f(x) - f(y)|<\epsilon$. Esto deja claro que el $\delta$ depende de la $\epsilon$.

Answer 2

Uso de la función: $$ f(x)=0 \quad \quad x=0 $$ $$ f(x)=\dfrac{x}{|x|} \quad \quad x \ne 0 $$

Usted puede fácilmente ver que $\forall \delta >0$ usted puede encontrar $\epsilon=1+\delta$ tal que $|x|<\delta \Rightarrow |f(x)|< \epsilon$, pero la función tiene un salto en $x=0$.

Claramente el problema es que, con tal de "definición", un pequeño barrio abierto en el dominio de la función corresponden a un gran barrio abierto en el rango. Con la definición habitual que esto es imposible porque el pequeño barrio es elegido inicialmente en el rango.

Dicho de otra manera: en su Definición Alterada no estamos seguros de que $\epsilon$ es lo suficientemente pequeño como para traducir el concepto intuitivo de "proximidad".

Answer 3

$\newcommand{\Reals}{\mathbf{R}}\newcommand{\eps}{\varepsilon}$Deje $f:\Reals \to \Reals$ ser una función, y $a$ un número real. La definición de continuidad de $f$ $a$ puede ser vista como una confrontación de juego:

Reproductor $\eps$ elige un número real positivo, que sirve como un "reto" o a un "tamaño": Un punto de $x$ "cumple el reto de la" si $|f(x) - f(a)| < \eps$, es decir, si $f(x) \in (f(a) - \eps, f(a) + \eps)$.

Ahora el adversario, el Jugador $\delta$, elige un número real positivo, que sirve como una "respuesta" al "desafío". La respuesta de "éxito" si todos los $x$ satisfacción $|x - a| < \delta$ cumple con el reto.

Podemos decir $f$ es continua en a $a$ si el Jugador $\delta$ tiene una estrategia ganadora en contra de un oponente perfecto.

A ver lo que esto significa, pensar acerca de cómo cada jugador strategizes. El menor $\eps$ menor es el objetivo, y el más difícil el Jugador $\delta$'s de la tarea. Sin embargo, si $f$ es continua en a $a$, entonces no importa cuán pequeño sea el desafío $\eps > 0$ ("por cada $\eps > 0$"), el Jugador $\delta$ respuesta correctamente ("existe un $\delta > 0$ tal que..."). Es decir, no importa cuán pequeño un intervalo alrededor de a $f(a)$ es dado, el Jugador $\delta$ puede asegurar que $f(x)$ se encuentra dentro de este intervalo, simplemente por la restricción de $x$ a estar lo suficientemente cerca de a $a$.

Ahora vamos a considerar la alteración de la definición:

• C2: Para cada $\delta > 0$, existe un $\eps > 0$ tal que $|x - a| < \delta$ implica $|f(x) - f(a)| < \eps$.

Aquí, el Jugador $\delta$ elige un número positivo, lo que determina un "desafío" en la forma de un intervalo de $(a - \delta, a + \delta)$. Ahora el Jugador $\eps$ trata de "responder" mediante la selección de $\eps > 0$, de modo que el "reto" intervalo de mapas en $(f(a) - \eps, f(a) + \eps)$. Metafóricamente, Reproductor de $\eps$ "lanzar una red en torno a" la imagen de el reto de intervalo.

La función de $f$ satisface la condición C2 en $a$ si el Jugador $\eps$ tiene una estrategia ganadora en contra de un oponente perfecto.

De nuevo, considere la posibilidad de los jugadores de las respectivas estrategias. El mayor $\delta$ es, el más grande de la imagen $f(a - \delta, a + \delta)$, y el más difícil el Jugador $\eps$'s de la tarea. De hecho, es fácil ver que $f$ cumple C2 si y sólo si $f$ es limitado en cada conjunto acotado.

La función de $f(x) = (1 + x^{2})\chi_{\mathbf{Q}}(x)$, el producto de un polinomio cuadrático y la función de Dirichlet, es C2, pero sin límites en $\Reals$, y discontinua en todos los puntos.

Es un buen ejercicio para caracterizar (en términos familiares) funciones de la satisfacción de los otros dos análogas condiciones. En cada "juego", el trabajo de la "estrategia óptima", y tratar de decidir lo que a la propiedad le permite a cada jugador para forzar una victoria contra un oponente perfecto. (Respuestas ocultas.)

• C3: existe un $\eps > 0$ tal que para cada $\delta > 0$, $|x - a| < \delta$ implica $|f(x) - f(a)| < \eps$.

$f$ está acotada.

• C4: existe un $\delta > 0$ tal que para cada $\eps > 0$, $|x - a| < \delta$ implica $|f(x) - f(a)| < \eps$.

$f$ es localmente constante, es decir, hay un $\delta > 0$ tal que $|x - a| < \delta$ implica $f(x) = f(a)$.