Orden de diferenciación en dos variables

Question

Dejemos que $A$ estar abierto en $\mathbb{R}^2$ ; dejar que $f:A\rightarrow\mathbb{R}$ ser de clase $C^2$ . Sea $Q$ sea un rectángulo contenido en $A$ .

(a) Utilice el teorema de Fubini y el teorema fundamental del cálculo para demostrar que $$\int_QD_2D_1f=\int_QD_1D_2f.$$

(b) Demuestre que $D_2D_1f(\textbf{x})=D_1D_2f(\textbf{x})$ para cada $\textbf{x}\in A$ .

Estoy bastante confundido con este ejercicio. ¿No debería ir primero (b) antes de (a)? Si sabemos que $D_2D_1f(\textbf{x})=D_1D_2f(\textbf{x})$ para cada $\textbf{x}\in A$ , entonces ciertamente también es válido para cada $\textbf{x}\in Q$ y las dos integrales de la parte (a) deben ser iguales.

Además, en la parte (a), no veo cómo aplicar los dos teoremas aquí. El teorema fundamental del cálculo es para una variable. Fubini necesita la suposición de que la integral sobre $Q$ existe en primer lugar, y luego afirma que se puede integrar sobre la dirección $y$ (o encontrar las integrales inferior/superior) y luego integrar sobre la dirección $x$ .

Answer 1

Para la parte (a), escribe el rectángulo explícitamente como $[a,b]\times[c,d]$ luego usar el teorema de Fubini para calcular las integrales explícitamente, eligiendo hacer la $x_1$ integración primero para una integral y $x_2$ primero por otro. Deberías obtener una respuesta en términos de f evaluada en las esquinas del rectángulo. Entonces observa que las respuestas son las mismas.