Integración con$d($ "alguna función"$)$ en lugar de$d($ "alguna variable"$)$.

Question

$$\int x\,d(x^2)=\;?$ $ Estoy confundido con esto. Normalmente tenemos$d($ "alguna variable"$)$, no$d($ "alguna función"$)$.

Mi intento es el siguiente:$$\int x\,d(x^2)=\int \sqrt{x^2}\,d(x^2)=\frac{(x^2)^{3/2}}{3/2}=\frac{2}{3}x^3.$ $ Pero estoy preocupado porque$\sqrt{x^2}=|x|\neq x$ en general.

Answer 1

Uno puede escribir $$ \int x\,d(x^2) = \int x\Big( 2x\,dx\Big)=\cdots $$ etc.

Sin embargo, la notación $$ \int_a^b f(x)\,dg(x) \tag 1 $$ a veces, también se entiende la de Riemann–Stieltjes integral de $f$ con respecto al $g$ en el intervalo de $a\le x\le b$. Que se define como el límite de la malla de la partición enfoques $0$, de $$ \sum_i f(x_i^\ast)\,\Delta g(x)_i = \sum_i f(x_i^\ast)(g(x_{i+1}-g(x_i)) $$ (donde $x_i^\ast$ es algún punto en $[x_i,x_{i+1}]$).

Esta integral es el mismo $$ \int_a^b f(x)g'(x)\,dx \tag 2 $$ SIEMPRE $g'$ existe en todas partes en el intervalo, y yo creo que se puede conseguir con algo más débil que "everyhwere" en algunos casos. Pero la de Riemann–Stieltjes de la integral definida, incluso en los casos donde $g'$ no existe en muchos lugares y donde el $(1)$ es no igual a $(2)$. Un ejemplo es el caso donde $g$ es el Cantor de la función. Que la función es continua en todas partes y su derivada es cero en casi todas partes, Riemann–Stieltjes integral de la $\displaystyle\int_0^1 1\,dg(x)$ es igual a $1$.

Si $f$ es una función de una variable aleatoria (capital) $X$ cuya función de distribución de probabilidad acumulativa es $g$, entonces el valor esperado $\operatorname{E}(f(X))$ es $$ \int_{-\infty}^\infty f(x)\,dg(x) $$ independientemente de si la distribución es discreta o continua, o una mezcla de los dos o de ninguno de los de arriba, y "ninguna de las anteriores" es ejemplificado por el Cantor de distribución.

La de Riemann–Stieltjes integral se define solamente si el total de la variación de la función $g$, a veces llamado el "integrador", es finito, y sólo si $f$ $g$ no tienen en común los puntos de discontinuidad.

Answer 2

Normalmente,$\int d(f(x))=\int f'(x) dx=f(x)$ desde$df(x)=f'(x)dx$. Tu trabajo no es incorrecto cuando$x>0$, y solo lo dividirías si la región de integración incluía valores positivos y negativos$x$.

Una forma más sencilla de verlo es que$\int x d(x^2)=\int 2x^2 dx =2x^3/3$ (siempre y cuando$x\geq0$).

Answer 3

Creo que podemos hacer esto para$x<0$: \begin{align} & \text{ if } x<0 \text{ then } |x|=-x \text{ so } -|x|=x \\ &\text{ or } - (x^2)^\frac{1}{2} =x \\ &\int x \, d(x^2)=\int - (x^2)^\frac{1}{2} \, d(x^2) \\ &\text{ someone correct me If I'm wrong }\end {align}