Caracterización de matriz definida positiva con menores principales

Question

Una matriz simétrica $A$ es positiva definida si $x^TAx>0$ todos los $x\not=0$.

Sin embargo, tales matrices puede ser caracterizada también por la positividad de los principales menores de edad.

Una declaración y prueba de ello, por ejemplo, puede ser encontrado en la wikipedia: http://en.wikipedia.org/wiki/Sylvester%27s_criterion

Sin embargo, la prueba, como en la mayoría de los libros que he visto, es muy largo y complejo. Esto tiene sentido en un libro donde quería probar que los otros teoremas de todos modos. Pero tiene que haber una mejor manera de demostrarlo.

¿Qué es la "prueba del libro" que positiva definida matrices se caracterizan por su $n$ positivo director de menores de edad?

Answer 1

Sylvester criterio dice que un $n\times n$ Hermitian matriz $A$ es positiva definida si y sólo si todos sus líderes principales de los menores de edad son positivos. Si uno sabe que el hecho de que cada Hermitian matriz ortogonal eigenbasis, uno puede demostrar que Sylvester criterio fácilmente por inducción matemática.

El caso base $n=1$ es trivial. El avance implicación es también evidente. Así, sólo necesitamos considerar el retroceso implicación.

Supongamos que todos los líderes principales de los menores de $A$ son positivos. En particular, $\det(A)>0$. De ello se sigue que si $A$ no es positiva definida, debe poseer al menos dos autovalores negativos. Como $A$ es Hermitian, existen dos ortogonal de vectores propios $x$ $y$ correspondiente a dos de estos autovalores negativos. Deje $u=\alpha x+\beta y\ne0$ ser una combinación lineal de $x$ $y$ de manera tal que la última entrada de $u$ es cero. A continuación,$u^\ast Au=|\alpha|^2x^\ast Ax+|\beta|^2y^\ast Ay<0$. Por lo tanto el líder de $(n-1)\times(n-1)$ submatriz principal de a $A$ no es positivo definitivo. La inducción por supuesto, esto es imposible. Por lo tanto $A$ debe ser positiva definida.