Dejemos que $X=BUC(\mathbb{R})$ sea el espacio de Banach de las funciones reales acotadas uniformemente continuas sobre $\mathbb{R}$ equipado con la norma del supremum. Sea $f\in X$ entonces el subconjunto $$\{f_a:t\mapsto f(t+a), \ \ a\in\mathbb{R} \}\subset X$$ es un subconjunto acotado de $X$ . ¿Es compacto?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Las traslaciones suelen ser la forma más sencilla de construir conjuntos acotados no compactos en espacios de funciones. Este ejemplo no es una excepción. Tomemos $f=e^{-x^2}$ . Si la familia $f_a$ tenía un punto límite que debería ser la función nula, como se puede ver fijando un punto $x$ y dejar que $a\to \infty$ . Pero algo va mal, ya que $f_a$ no puede converger uniformemente a la función nula, porque $\|f_a\|=1$ . Así que el conjunto $\{f_a\}$ no es compacto.
Davide Giraudo
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Denota por $\mathcal T$ el conjunto de traducciones. Definir $f_a\star f_b:=f_{a+b}$ Entonces $(\mathcal T,\star)$ es un grupo topológico compacto. El mapa $\Psi\colon a\mapsto f_a$ es un morfismo biyectivo continuo y deducimos que $f$ es periódica.
Si simplemente asumimos que $\mathcal T$ tiene un cierre compacto, entonces $f$ es casi periódico puede aproximarse para la norma uniforme mediante combinaciones lineales de funciones de la forma $t\mapsto e^{i\lambda t}$ , $\lambda\in\mathbb R$ .
