Función que es$2^n$ - periódica para todos los enteros$n$

Question

¿Existe una función continua, no constante,$f: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}$ tal que para todos los enteros$n$,$f$ es$2^n$ - periódica?

Notas:

1. $n$ Puede ser cualquier entero, y por lo tanto puede ser negativo, así como positivo.
2. Si no requiero que$f$ sea continuo, entonces creo que$f: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}$ definido por: $ f (x) = \begin{cases} 1 & \text{%#%#% rational} \\ 0 & \text{%#%#% irrational} \end {cases} $$ haría el truco.

Answer 1

No, esa función no existe. Suponga que hay dos puntos de $x,y$$f(x)=a, f(y)=b, a \ne b$. Los puntos con el valor de la función $a$ son densos en la recta real, ya que incluyen todos los desplazamientos por cualquier diádica racional, para que yo pueda encontrar uno arbitrariamente cerca de $y$.

Añadido: podemos caracterizar a la $2^n$ funciones periódicas. Definir una relación de equivalencia en $\mathbb R$ $x \sim y$ si $x-y$ es un diádica racional. Hay continuum de muchas clases, cada contables y densa. La función debe ser constante en cualquier clase dada, pero no hay ninguna restricción entre las clases. Eso significa que hay tantos $2^n$ funciones periódicas como todas las funciones de $\mathbb R$ $\mathbb R$

Answer 2

No existe tal función. Supongamos que$f$ no es constante, así que tenemos$a<b$ y$\epsilon>0$ tal que$|f(a)-f(b)|>\epsilon$. Por continuidad, tenemos un$\delta>0$ tal que$|x-y|<\delta\implies |f(x)-f(y)|<\epsilon$. Sea$n\in\mathbb Z$ tal que$2^n<\delta$, y deje$m=\lfloor|a-b|/2^n\rfloor$. Entonces tenemos $$ \begin{align} |f(a)-f(b)|&\leq |f(a)-f(a+2^n)|+|f(a+2^n)-f(a+2\cdot 2^n)|+\cdots+|f(a+m\cdot 2^n)-f(b)|\\ &\leq |f(a+m\cdot 2^n)-f(b)|<\epsilon\\ \end {align} $$ que es una contradicción.