Segunda cuantificación en materia condensada y teoría cuántica de campos

Question

Parece haber una aparente dicotomía entre la interpretación de los operadores de segunda cuantificación en la materia condensada y la teoría cuántica de campos propiamente dicha. Por ejemplo, si observamos Peskin y Schroeder el hamiltoniano del campo de Dirac cuantizado viene dado por la ecuación 3.104 en la página 58:

$$H =\int \frac{d^3 p}{(2\pi)^3}\sum_s E_p (a_p^{s\dagger}a_p^s+b_p^{s\dagger}b_p^s). \tag{3.104}$$

Aquí, $a_p^{s\dagger}$ y $a_p^s$ son los operadores de creación y aniquilación de los fermiones, mientras que $b_{p}^{s\dagger}$ y $b_p^s$ son los operadores de creación y aniquilación de los antifermiones. Nótese que las partículas y las antipartículas están descritas por el mismo campo, que llamaremos $\psi$ . Obsérvese también que estos operadores satisfacen las relaciones

$$a_p^{s\dagger}=b_{p^*}^s,\qquad a_p^s=b_{p^*}^{s\dagger}$$

En la notación de materia condensada, podríamos tener de forma similar operadores de creación y aniquilación para algún estado de muchos cuerpos, que llamaremos $c_i^\dagger$ y $c_i$ (consideramos fermiones sin espín para simplificar). En numerosos textos y en mis clases, he aprendido que $c_i$ podría interpretarse como el operador de creación de un agujero, que podría considerarse como el equivalente en materia condensada de una antipartícula.

¿Por qué necesitamos operadores de creación y aniquilación separados para fermiones y antifermiones en la teoría cuántica de campos, pero en la materia condensada podemos tratar simplemente el operador de aniquilación como el operador de creación de la "antipartícula"? Tengo entendido que hay una diferencia fundamental entre los operadores de segunda cuantificación del campo de Dirac y los operadores de segunda cuantificación de la materia condensada, pero no encuentro ninguna referencia que hable de ello. Se agradecería cualquier explicación, así como cualquier referencia a nivel de Peskin y Schroeder.

Answer 1

Es sólo una convención para escribir el Hamiltoniano de Dirac en términos de operadores de electrones y positrones. El operador $b_p^{s\dagger}$ crea un "agujero", es decir, un positrón, que es lo mismo que aniquilar un electrón. Por lo tanto, también podríamos definir $c_p^s = b_p^{s\dagger}$ y escribir el Hamiltoniano en términos de $a$ y $c$ en lugar de $a$ y $b$ . Entonces todo se expresa en términos de operadores de electrones.

Así que nos vemos reducidos a preguntar por qué se necesitan dos conjuntos de operadores $a$ y $c$ . La razón es simplemente que la relación de dispersión de la ecuación de Dirac es $E = \pm \sqrt{p^2 + m^2}$ así que en cualquier momento hay dos bandas. Por lo tanto, se necesita un operador que cree/anime un electrón en la banda superior, y otro que cree/anime un electrón en la banda inferior. Esto sería igualmente cierto en un sistema de materia condensada tratado en el espacio de momento, si hay múltiples bandas.

(En cuanto a por qué se elige esta convención: en la teoría cuántica relativista, si se escribe todo en términos de electrones, se obliga a concluir que el vacío $|0\rangle$ tiene todos los estados de energía negativa ocupados, ya que $c_p^{s\dagger}|0\rangle = 0$ . Esta era, de hecho, la imagen original de Dirac, pero conceptualmente es más fácil imaginar que el vacío no contiene partículas. Por otro lado, en la física de la materia condensada, estamos acostumbrados a pensar que nuestros materiales en estado sólido contienen muchos electrones, por lo que en realidad es menos confuso adoptar el punto de vista contrario).