Feynman ' truco s para aproximar $e^x$

Question

Feynman sabía aproximada $e^x$ para los valores pequeños de $x$ señalando el hecho de que $$\begin{align*} & \log10=2.30\qquad\qquad\therefore e^{2.3}\approx10\\ & \log 2 = 0.693\qquad\qquad\therefore e^{0.7}\approx2. \end{align*}$$

Y él podía aproximar valores pequeños realizando algunas Matemáticas mentales para obtener una aproximación precisa a tres lugares decimales. ¿Por ejemplo, aproximar el $e^{3.3}$, que $$e^{3.3}=e^{2.3+1}\approx 10e\approx 27.18281\ldots$$ But what I am confused is how Feynman knew how to correct for the small errors in his approximation. The actual value is$$e^{3.3}=27.1126\ldotsPerhaps alguien puede explicar a mí?

Answer 1

Como un entusiasta de las matemáticas mentales cálculos, aquí es lo que creo que él hizo. Ya sabía que la básica aproximaciones como usted ha mencionado, que seguramente debe haber memorizado la magnitud del error: $$10-e^{2.3} = 0.02517...$$

Pero esto es aproximadamente el $\dfrac{1}{4}\cdot 10^{-1}$. Así que, básicamente, significa dividir por $4$ y desplazar la coma decimal por uno.

Por lo tanto, se puede ver que una mejor aproximación para $e^{3.3}$ $10e-\dfrac{e}{4}\dfrac{1}{10} = 27.1828... - 0.068.. = 27.1125.$

Este método de mina toma literalmente par de segundos y obtiene una aproximación casi el mismo Feynman hizo, por lo que tal vez hizo algo similar.

No hay ninguna magia en cálculos mentales - que acaba de acostumbrarse a ver un montón de números y encontrar la manera de lidiar con ellos. Igual, es mejor dividir por $4$ en lugar de multiplicar por $0.25$, que es lo que hice anteriormente.

Answer 2

Según el libro (pág. 124 aquí), él sabía $\log 10 \approx 2.3026$. Feynman aparentemente utiliza el trivial aproximación lineal de $e^x$:

$$e^x\approx 1+x$$

que funciona bien para pequeños valores de $x$.

Por lo tanto:

$$e^{3.3} = e^1\cdot e^{2.3026-0.0026} \approx e\cdot10\cdot e^{-0.0026}\approx 10e(1-0.0026) = 27.1121\dots$$

La corrección añade dos más correcto decimales y es bastante fácil de calcular a mano.

Feynman se utiliza una táctica similar para calcular los cubos de raíces más rápido que un hombre con un ábaco (p. 127).